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| Aufgabe | Bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich D für die Funktion:
f: [mm] D\to\IR: [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{4-x}{x² -5x+6}+\bruch{x+2}{x²-2*|x|} [/mm] - [mm] \bruch{x+3}{x²-3x}
[/mm]
sowie die größtmögliche Menge W, auf die diese Funktion stetig fortsetzbar ist. Gib die stetige Fortsetzung f2: W [mm] \to\IR [/mm] an. |
Also den Definitionsbereich hab einmal, der is einfach:
[mm] D=\IR\backslash\{-2,0,3\}
[/mm]
nur weiß ich jetzt nicht wie ich die stetigkeit berechnen kann oder soll. gibt es da irgendeinen allgemeinen ansatz.
Ich habe mich jetzt ein bischen gespielt und mir den graphen gezeichnet. als fallen is sie von [mm] -\infty [/mm] bis 0. außnahme -2 ist nicht definiert oder?
dann steigend von 0 bis 3 und wieder steigend von 3 bis [mm] \infty.
[/mm]
die wert 0 und 3 werden mir auch als asymptoten in mapple angezeigt nur bei -2 passiert nichts. warum kann das sein und wie kann ich da jetzt di stetigkeit berechnen?
danke für eure hilfe
stefan
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich D für die
> Funktion:
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> [mm]f: D\to\IR: x \mapsto \bruch{4-x}{x² -5x+6}+\bruch{x+2}{x^2-2*|x|}- \bruch{x+3}{x^2-3x}[/mm]
>
> sowie die größtmögliche Menge W, auf die diese Funktion
> stetig fortsetzbar ist. Gib die stetige Fortsetzung f2: W
> [mm]\to\IR[/mm] an.
> Also den Definitionsbereich hab einmal, der is einfach:
>
> [mm]D=\IR\backslash\{-2,0,3\}[/mm]
>
> nur weiß ich jetzt nicht wie ich die stetigkeit berechnen
> kann oder soll. gibt es da irgendeinen allgemeinen ansatz.
>
> Ich habe mich jetzt ein bischen gespielt und mir den
> graphen gezeichnet. als fallen is sie von [mm]-\infty[/mm] bis 0.
> außnahme -2 ist nicht definiert oder?
> dann steigend von 0 bis 3 und wieder steigend von 3 bis
> [mm]\infty.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> die wert 0 und 3 werden mir auch als asymptoten in mapple
> angezeigt nur bei -2 passiert nichts. warum kann das sein
> und wie kann ich da jetzt di stetigkeit berechnen?
Generell ist diese Funktion überall stetig, wo sie definiert ist. Die Frage ist nur, ob sie sich vielleicht an einer der Definitionslücken stetig fortsetzen lässt. Das heisst: Ob sich ihr Funktionswert dort so festlegen lässt, dass die so erweiterte Funktion (d.h. die Funkion mit dem so erweiterten Definitionsbereich) auch an dieser Stelle stetig ist.
Um zu zeigen, dass die Funktion bei einer Definitionslücke $x_0$ stetig fortsetzbar ist, musst Du zeigen, dass der Grenzwert
$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$
existiert - oder, was das selbe ist, dass die links- und rechtseitigen Grenzwerte der Funktion in $\IR$ existieren und gleich sind. Also dass
$\lim_{x\rightarrow x_0-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)$
gilt. Ist dies der Fall, so wird mittels $f(x_0) := \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)}$ die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ stetig fortgesetzt und ihr Definitionsbereich ist damit entsprechend um $x_0$ erweitert.
Existiert aber der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ nicht, so ist die Funktion an der betreffenden Stelle $x_0$ nicht stetig fortsetzbar.
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laut dieser skizze:
http://www.matheboard.de/plotter.php?f=%28%284-x%29%2F%28x%5E2-5*x%2B6%29%29%2B%28%28x%2B2%29%2F%28x%5E2-%282*abs%28x%29%29%29%29-%28%28x%2B3%29%2F%28x%5E2-3*x%29%29&x=&y=
is das dann nur der punkt -2 und das muss ich halt dann noch zigen oder?
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> laut dieser skizze:
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> http://www.matheboard.de/plotter.php?f=%28%284-x%29%2F%28x%5E2-5*x%2B6%29%29%2B%28%28x%2B2%29%2F%28x%5E2-%282*abs%28x%29%29%29%29-%28%28x%2B3%29%2F%28x%5E2-3*x%29%29&x=&y=
Na, ich weiss nicht, ob Du demjenigen, der Deine Lösung korrigieren und bewerten soll, einen solchen Link auf einen Plot zumuten kannst .. falls nicht, musst Du bei den anderen beiden Definitionslücken [mm] $x_0=0$ [/mm] bzw. [mm] $x_0=3$ [/mm] von $f$ zeigen, dass der Limes [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] nicht exisiert, falls Du behaupten willst, dass sich $f$ an diesen Stellen nicht stetig fortsetzen lässt.
> is das dann nur der punkt -2 und das muss ich halt dann
> noch zigen oder?
Rictig: Du wirst zeigen müssen, dass [mm] $\lim_{x\rightarrow -2}f(x)$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] existiert, falls Du behaupten willst, dass sich $f$ an der Stelle [mm] $x_0=-2$ [/mm] stetig fortsetzen lässt.
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mein problem ist jetzt nur dass ich immer nur mit einem limes gerechtnet habe der gegen [mm] \infty [/mm] geht.
wie berechne ich das jetzt in diesem fall?
[mm] \limes_{n\rightarrow\-2}\bruch{4-x}{x² -5x+6}+\bruch{x+2}{x²-2*|x|} [/mm] - [mm] \bruch{x+3}{x²-3x}
[/mm]
das einzige was ich weiß ist, dass ich der mittlere bruch gegen null geht, aber was mach ich sonst? kann ich -2 einsetzen oder wie rechnet man hier?
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> mein problem ist jetzt nur dass ich immer nur mit einem
> limes gerechtnet habe der gegen [mm]\infty[/mm] geht.
> wie berechne ich das jetzt in diesem fall?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\-2}\bruch{4-x}{x² -5x+6}+\bruch{x+2}{x²-2*|x|}[/mm]
> - [mm]\bruch{x+3}{x²-3x}[/mm]
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> das einzige was ich weiß ist, dass ich der mittlere bruch
> gegen null geht, aber was mach ich sonst? kann ich -2
> einsetzen oder wie rechnet man hier?
Für $x$ genügend nahe bei der fraglichen Stelle [mm] $x_0=-2$ [/mm] lässt sich zunächst der Betrag $|x]$ durch $-x$ ersetzen. Dann kannst Du alles auf einen Bruchstrich nehmen und schauen, ob sich vielleicht der zur fraglichen Definitionslücke [mm] $x_0$ [/mm] gehörige Linearfaktor [mm] $x-x_0$ [/mm] aus dem Nenner wegkürzen lässt. Falls dies gelingt, ist der Grenzwert des verbleibenden Terms dann einfach der Wert, den man erhält, wenn man für $x$ den Wert [mm] $x_0=-2$ [/mm] einsetzt.
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Aber hier weiß ich doch nicht von welcher seite ich komme oder?
und was ist genau der linearfaktor [mm] x-x_0 [/mm] . heißt dass ich für |x| -x einsetzte und dieses -x= [mm] -x_0 [/mm] und ich muss schauen dass sich alle terme im nenner die dieses [mm] x_0 [/mm] haben wegkürzen?
ich habe auf diesem gebiet leiderüberhaupt keine erfahrung!
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also ich habe jetzt alles auf gleichen nenner gebracht und erhalten im zähler:
[mm] -x^5+x^4+32x³+48x²-72x
[/mm]
und wie soll ich hier sehen dass sich was kürzt??
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> Aber hier weiß ich doch nicht von welcher seite ich komme
> oder?
> und was ist genau der linearfaktor [mm]x-x_0[/mm] . heißt dass ich
> für |x| -x einsetzte und dieses -x= [mm]-x_0[/mm] und ich muss
> schauen dass sich alle terme im nenner die dieses [mm]x_0[/mm] haben
> wegkürzen?
> ich habe auf diesem gebiet leiderüberhaupt keine
> erfahrung!
Ich habe die Abkürzung [mm] $x_0$ [/mm] für $-2$ nur eingeführt, weil es ja um ein allgemeines Problem geht, nicht um den in Deiner Aufgabe gerade aktuellen Spezialfall.
Beachte, dass ich auf blosse Mitteilungen in der Regel nicht antworte: Du musst eine Frage stellen, wenn Du eine Antwort willst. Zu Deiner in einer Mitteilung gestellte Frage: "also ich habe jetzt alles auf gleichen nenner gebracht und erhalte im zähler: [mm] $-x^5+x^4+32x^3+48x^2-72x$
[/mm]
und wie soll ich hier sehen dass sich was kürzt??"
Kann ich Dir sagen: Dein Zähler ist falsch, meiner Meinung nach sollte dies [mm] $-x^3-4x^2+8x+24$ [/mm] sein: und von diesem Polynom lässt sich eben der Linearfaktor [mm] $x-x_0$ [/mm] also, wegen [mm] $x_0=-2$, [/mm] der Linearfaktor $x+2$ durch Polynomdivision abspalten, ergibt [mm] $(x+2)(-x^2-2x+12)$ [/mm] Derselbe Linearfaktor lässt sich auch aus dem Nennerpolynom abspalten und dann gegen denselben Faktor im Zähler kürzen.
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Aber gibt es da nicht eine andere "schönere Lösung"? irgendwie ist das doch bischen eine probirerei oder?
also du bringst diesen term auf gleichen nenner und hebst heraus.
[mm] \bruch{4-x}{x² -5x+6}+\bruch{x+2}{x²+2x} [/mm] - [mm] \bruch{x+3}{x²-3x}
[/mm]
aber wieso kürzt sich das [mm] x^5 [/mm] bei dir weg? es kommt ja 3 mal vor und das jedesmal mit dem wert 1 und ich sehe da keine möglichkeit dass es sich kürzt! oder hab ich immer noch ein verständnis problem?
also als bsp der erste bruch würde im zähler so ausschauen oder:
(4-x)*(x²+2x)*(x²-3x)
oder ersetzt du den ganzen term x²-2x durch x-2?
wenn ja dann würde ich es etwas besser verstehen!
EDIT: Jetzt habe ich es gecheckt. du setzt für den term der das "Problem" macht immer den wert x-weniger dem was wir ausgeschlossen haben und wenn er sich dann lürzen lässt dann kann ich für den punkt den errechneten wert nehmen und wenn man nicht kürzen kann dann bleibt das eine asymptote.
kann ich das allgemein immer so formulieren? und wie ist es , wenn zwei terme das gleiche problem verursachen kann ich sie dann zusammenfassen? schon oder?
EDIT2: Also ich habe es doch nicht geschafft bitte zeig mir wie dein nenner und dein zähler genau auschaut und wie du ihn berechnest ich bin einfach zu blöd dazu sorry. Ich habe jetzt schon alle varianten probiert aber ich nicht mit was du erweitert hast dass du diesen zählner erhälst. sag mir einfach nur wie die 3nenner aussehen.
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> Aber gibt es da nicht eine andere "schönere Lösung"?
> irgendwie ist das doch bischen eine probirerei oder?
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> also du bringst diesen term auf gleichen nenner und hebst
> heraus.
> [mm]\bruch{4-x}{x² -5x+6}+\bruch{x+2}{x²+2x}[/mm] -
> [mm]\bruch{x+3}{x²-3x}[/mm]
>
> aber wieso kürzt sich das [mm]x^5[/mm] bei dir weg? es kommt ja 3
> mal vor und das jedesmal mit dem wert 1 und ich sehe da
> keine möglichkeit dass es sich kürzt! oder hab ich immer
> noch ein verständnis problem?
> also als bsp der erste bruch würde im zähler so ausschauen
> oder:
> (4-x)*(x²+2x)*(x²-3x)
>
> oder ersetzt du den ganzen term x²-2x durch x-2?
> wenn ja dann würde ich es etwas besser verstehen!
>
> EDIT: Jetzt habe ich es gecheckt. du setzt für den term der
> das "Problem" macht immer den wert x-weniger dem was wir
> ausgeschlossen haben und wenn er sich dann lürzen lässt
> dann kann ich für den punkt den errechneten wert nehmen und
> wenn man nicht kürzen kann dann bleibt das eine asymptote.
> kann ich das allgemein immer so formulieren? und wie ist
> es , wenn zwei terme das gleiche problem verursachen kann
> ich sie dann zusammenfassen? schon oder?
>
> EDIT2: Also ich habe es doch nicht geschafft bitte zeig mir
> wie dein nenner und dein zähler genau auschaut und wie du
> ihn berechnest ich bin einfach zu blöd dazu sorry. Ich habe
> jetzt schon alle varianten probiert aber ich nicht mit was
> du erweitert hast dass du diesen zählner erhälst. sag mir
> einfach nur wie die 3nenner aussehen.
[mm]\begin{array}{rcl}
\frac{4-x}{x^2-5x+6}+\frac{x+2}{x^2+2x}-\frac{x+3}{x^2-3x} &=& \frac{4-x}{(x-2)(x-3)}+\frac{x+2}{x(x+2)}-\frac{x+3}{x(x-3)}\\[.3cm]
&=& \frac{\left((4-x)\cdot (x+2)x\right)+\left((x+2)\cdot (x-2)(x-3)\right)-\left((x+3)\cdot(x+2)(x-2)\right)}{(x+2)x(x-2)(x-3)}\\[.3cm]
&=& \frac{\left(-x^3+2x^2+8x\right)+\left(x^3-3x^2-4x+12\right)-\left(x^3+3x^2-4x+12\right)}{(x+2)x(x-2)(x-3)}\\[.3cm]
&=& \frac{-x^3-4x^2+8x+24}{(x+2)x(x-2)(x-3)}
\end{array}[/mm]
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Ok super danke. Ich hab übersehen, dass ich den ersten bruch als produkt anschreiben kann und da muss dann bei mir irgendetwas schifgelazfen sein.
Damikt wäre das Bsp dann eigentlich gelöst.
In den anderen Fällen würde ich dann genau gleich vorgehen und jeweil schauen ob sich (x) und (x-3) wegkürzt, das wird nicht gehen und damit bin ich dann fertig!
Vielen vielen Dank!!!
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