stetigkeit nachweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Sa 03.05.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | | zeigen sie, dass [mm] f:|R^2 [/mm] --> |R, (x,y)-> [mm] \begin{cases} (x*y)/(x^2+y^2), & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{(0,0)} \end{cases} [/mm] nicht stetig ist. |
also ich hab mich erstmal an den einschränkungen versucht, wenn ein x bzw y feste ist. dann sind diese funktionen aber stetig, da komposition aus st. funktionen und es keine probleme mit der 0 gibt, sodass ne polstelle o.ä. auftreten kann. nur wenn es jetz darum geht in abhängigkeit von x und y die stetigkeit nachzuweisen hab ich bissle probleme.
für die stetigkeit gibt es ja folgenkrit. und epsilon-delta, nur hätte ich keine idee wie man mit den sachen daran gehen kann -.- kann mir jemand helfen?
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Hallo Benjamin,
> zeigen sie, dass [mm]f:|R^2[/mm] --> |R, (x,y)-> [mm]\begin{cases} (x*y)/(x^2+y^2), & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{(0,0)} \end{cases}[/mm]
> nicht stetig ist.
> also ich hab mich erstmal an den einschränkungen versucht,
> wenn ein x bzw y feste ist. dann sind diese funktionen aber
> stetig, da komposition aus st. funktionen und es keine
> probleme mit der 0 gibt, sodass ne polstelle o.ä. auftreten
> kann. nur wenn es jetz darum geht in abhängigkeit von x und
> y die stetigkeit nachzuweisen hab ich bissle probleme.
> für die stetigkeit gibt es ja folgenkrit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
jo, das eignet sich meistens sehr gut, um Stetigkeit zu widerlegen
> und epsilon-delta, nur hätte ich keine idee wie man mit den
> sachen daran gehen kann -.- kann mir jemand helfen?
>
Außerhalb von $(x,y)=(0,0)$ ist die Funktion ja als Verkettung stetiger Funktionen stetig.
Einzig $(x,y)=(0,0)$ macht etwas Sorgen.
Finde zwei Folgen [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}, (\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x_n,y_n)=\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)=(0,0)$,
[/mm]
bei dennen aber [mm] $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f\left((x_n,y_n)\right)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f\left((\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)\right)$ [/mm] verschieden sind...
Die einfachsten Folgen sind dabei meist die besten 
Spiel ein bisschen rum mit den Folgen [mm] $\left(\pm\frac{1}{n},\pm\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN} [/mm] $ und baue mal verschiedene VZ ein...
Gruß
schachuzipus
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