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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Di 02.12.2008 | | Autor: | yento |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Funktion [mm] y(x)=\bruch{\wurzel{x^{2}-x^{3}}}{x} [/mm] an der stelle x=0 unstetig ist. Können sie die Unstetigkeitsstelle beheben? |
Als erstes ist anzumerken dass nur die positive wurzel des Zählers genommen werden soll.
Also die Nullstelle ist ja bei x=0 weil man nicht durch null teilen darf bzw. weil es nicht definiert ist.
setze ich aber für alle x null ein, dann komme ich ja auf [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] was ja alles sein kann !
okay da ja zähler und nenner bei demselben wert für x null werden, muss man diese lücke heben können oder nicht?
ich komme einfach nicht drauf wie ich die funktion umformen muss, damit ich beweisen kann dass sie hebbar ist !
wäre für hilfe sehr dankbar !
mfg addu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo yento!
Da die Funktion (bisher) für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht definiert ist (wegen Nullstelle im Nenner), ist die Funktion auch automatisch bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht stetig.
Aber Du kannst auch mal die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x)$ [/mm] bestimmen und vergleichen.
Folgender Umformungstipp:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x^2-x^3}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x^2}*\wurzel{1-x}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{|x|}{x}*\wurzel{1-x} [/mm] \ = \ [mm] \text{sgn}(x)*\wurzel{1-x}$$
[/mm]
[mm] $\text{sgn}(x)$ [/mm] : ![[]](/images/popup.gif) Signum-Funktion
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Di 02.12.2008 | | Autor: | reverend |
Loddars Tipp ist klasse, die Umformung auch, aber Du solltest die Definition sgn(0)=0 ignorieren. Bleib bei den beiden Grenzwerten, von links und von rechts, dann hilft Dir die Signum-Funktion ganz enorm weiter!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
> Loddars Tipp ist klasse, die Umformung auch,
Danke für die Blumen ... 
> aber Du solltest die Definition sgn(0)=0 ignorieren.
Da unsere Ausgangsfunktion nicht für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ definiert ist, muss dies auch für unsere umgeformte Funktion gelten.
Und dann bleibt es ja bei der Definition der Signum-Funktion für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | reverend |
Stimmt auch wieder. Das habe ich übersehen. Ich fand nur den Wiki-Link gerade in diesem Punkt irritierend. Es sieht so aus, als gäbe es dann eine glatte Lösung, die die Grenzwertbetrachtung unnötig macht. Das ist natürlich nicht so, und darin sind wir uns ja einig.
Übrigens wäre selbst bei "definierter Null" noch kein Problem entstanden, da ja auch dann der linkseitige Grenzwert -1, der rechtsseitige +1, und bei x=0 der Funktionswert 0 gewesen wäre. Auch das hätte man aber wieder nur mit Grenzwertbetrachtung gesehen.
Pardon also für die unnötige Einmischung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
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> Pardon also für die unnötige Einmischung.
Ich bitte Dich ... für konstruktive Kritik und Hinweise sind wir doch immer offen und dankbar.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 02.12.2008 | | Autor: | yento |
seh das also richtig dass ich einmal für [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f(x)=1*\wurzel{1}
[/mm]
und einmal für [mm] \limes_{x\rightarrow 0-}f(x)=-1*\wurzel{1}
[/mm]
bekomme?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | yento |
mit + und - beim limes meine ich natürlich +0 und -0, irgendwie wurde das weggelassen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo yento!
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") Das siehst Du genau richtig!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 02.12.2008 | | Autor: | yento |
okay jetzt bin ich etwas verwirrt, was sagt mir die 1 als ergebnis des grenzwertes ? ist diese funktion nun hebbar oder nicht?!? *aufm schlauch steh*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo yento!
Die Funktion wäre stetig hebbar, wenn beide Grenzwertbetrachtungen denselben Wert liefern würden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Di 02.12.2008 | | Autor: | yento |
aaaah okay ich glaube mir dämmerts jetzt auch ^^
vielen dank für deine hilfe !
mfg
yento
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