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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Do 28.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Zeigen sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen:
(1) [mm] f:\IR_{\ge 0}\to\IR [/mm] : [mm] f(x)=x^z [/mm] für [mm] z\in\IZ
[/mm]
(2) [mm] f:\IR\to\IR [/mm] : [mm] f(x)=e^x [/mm] |
Eine Funktion f ist stetig wenn gilt: [mm] \forall\varepsilon>0\exists\delta>0, [/mm] so dass [mm] |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon
[/mm]
(1)
Fallunterscheidung:
1. Fall: (z<0)
Sei [mm] \delta=\varepsilon
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x^z-x_0^z|<|x-x_0|<\delta=\varepsilon
[/mm]
2. Fall: (z=0)
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x^0-x_0^0|=|1-1|=0<\varepsilon \forall\varepsilon>0
[/mm]
3. Fall: (z>0)
Wie wähle ich hier mein [mm] \delta? [/mm] ... Und wie löse ich auf
ich habe [mm] |f(x)-f(x_0)|=|x^z-x_0^z|
(2)
Wie mache ich das hier vom Prinzip her? ich habe hier kein [mm] \delta [/mm] was ich sofort sehe wie ermittle ich das? auch allgemein
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Zerwas
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> Zeigen sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen:
> (1) [mm]f:\IR_{\ge 0}\to\IR[/mm] : [mm]f(x)=x^z[/mm] für [mm]z\in\IZ[/mm]
> (2) [mm]f:\IR\to\IR[/mm] : [mm]f(x)=e^x[/mm]
> Eine Funktion f ist stetig wenn gilt:
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0,[/mm] so dass
> [mm]|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
>
> (1)
> Fallunterscheidung:
> 1. Fall: (z<0)
> Sei [mm]\delta=\varepsilon[/mm]
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|x^z-x_0^z|<|x-x_0|<\delta=\varepsilon[/mm]
Na, na, mein Lieber: hier hast Du doch nur etwas hingeschrieben, das Du eigentlich genauer argumentieren solltest...
>
> 2. Fall: (z=0)
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|x^0-x_0^0|=|1-1|=0<\varepsilon \forall\varepsilon>0[/mm]
>
> 3. Fall: (z>0)
> Wie wähle ich hier mein [mm]\delta?[/mm] ... Und wie löse ich auf
> ich habe [mm]|f(x)-f(x_0)|=|x^z-x_0^z|
Versuche mal [mm]x[/mm] als [mm]x_0+(x-x_0)[/mm] zu schreiben und dann mittels allgemeiner binomischer Formel auzumultiplizieren (aber so, dass der erwünschte Faktor [mm](x-x_0)[/mm] durchgehend erhalten bleibt):
[mm]\big|\big(x_0+(x-x_0)\big)^z-x_0^z\big| = |(x_0^z+z\cdot x_0^{z-1}(x-x_0)^1+\cdots+(x-x_0)^z)-x_0^z|
= |z\cdot x_0^{z-1}+(x-x_0)\cdot (\ldots))|\cdot |x-x_0|[/mm]
Nun müsstest Du nur noch den ersten Faktor nach dem letzten Gleichheitszeichen vom Betrag her durch eine Konstante beschränken können (allerdings möglichst ohne dabei bereits vorauszusetzen, was Du erst beweisen willst: nämlich die Stetigkeit von [mm]x^z[/mm], für [mm]z\in \IZ[/mm]): dann wäre es ja ein leichtes, ein [mm]\delta > 0[/mm] anzugeben, so dass dieses letzte Produkt kleiner ist als ein vorgegebenes [mm]\varepsilon > 0[/mm].
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> (2)
> Wie mache ich das hier vom Prinzip her? ich habe hier kein
> [mm]\delta[/mm] was ich sofort sehe wie ermittle ich das? auch
> allgemein
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> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Gruß Zerwas
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