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| Aufgabe | [mm] (\Omega, \mathcal{A},P) [/mm] sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] \mathcal{M}=\{X:\Omega \to\IR\ messbar\}.
[/mm]
Man definiert für [mm] X,Y\in\mathcal{M}
[/mm]
[mm] d(X,Y)=inf\{\delta>0; P(|X-Y|\ge\delta)\le\delta\}
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] d(X,Y)=0\gdw [/mm] X=Y P-fast sicher. |
Hallo!
obige Äquvialenz erscheint trivial allerdings tu ich mir schwer es exakt und sauber hinzuschreiben, ein Versuch:
Sei also d(X,Y)=0 => [mm] inf\{\delta>0; P(|X-Y|\ge\delta)\le\delta\}=0
[/mm]
ich bin mir hier ehrlich gesagt nicht sicher, ich glaube nämlich dass [mm] \delta=0 [/mm] zugelassen werden muss.
Wie seht ihr das?
Ich komme hier einfach nicht weiter dabei kann es ja nicht so schwer sien.
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> [mm](\Omega, \mathcal{A},P)[/mm] sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und
> [mm]\mathcal{M}=\{X:\Omega \to\IR\ messbar\}.[/mm]
> Man definiert
> für [mm]X,Y\in\mathcal{M}[/mm]
> [mm]d(X,Y)=inf\{\delta>0; P(|X-Y|\ge\delta)\le\delta\}[/mm]
> Zu
> zeigen ist: [mm]d(X,Y)=0\gdw[/mm] X=Y P-fast sicher.
> Hallo!
>
> obige Äquvialenz erscheint trivial allerdings tu ich mir
> schwer es exakt und sauber hinzuschreiben, ein Versuch:
> Sei also d(X,Y)=0 => [mm]inf\{\delta>0; P(|X-Y|\ge\delta)\le\delta\}=0[/mm]
>
> ich bin mir hier ehrlich gesagt nicht sicher, ich glaube
> nämlich dass [mm]\delta=0[/mm] zugelassen werden muss.
> Wie seht ihr das?
>
es geht hier um inf einer Menge, dass ist die gößte untere Schranke einer Menge, diese muss nicht in der Menge enthalten sein.
[mm]d(X,Y)=inf\{\delta>0; P(|X-Y|\ge\delta)\le\delta\}=0[/mm] heißt ja dann, dass das [mm] \delta [/mm] beliebig nahe an die 0 herankommt.
> Ich komme hier einfach nicht weiter dabei kann es ja nicht
> so schwer sien.
>
> Grüße Elvis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
übrigens gehts hier um keine Konvergenz und schon gar nicht um eine stochastische Konvergenz, sondern darum dass die ZV's Y und X außer auf einer Menge mit Eintrittswahrscheinlichkeit 0, gleich sind.
gruß
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