stochastische Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Fr 09.12.2011 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Es seien [mm] X_n, Y_n, n\in\IN [/mm] und X,Y Zufallsvariablen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum und es gelte [mm] X_n\to [/mm] X, [mm] Y_n\to [/mm] Y im Sinne der stochastischen Konvergenz.
Zeigen Sie: [mm] X_n*Y_n\to [/mm] X*Y im Sinne der stochastischen Konvergenz. |
Hallo,
Ich wollte das mit der Dreiecksungleichung lösen.
Zu zeigen ist [mm] P(|X_n Y_n- XY|>\varepsilon)\to0,n\to\infty. [/mm]
[mm] P(|X_n Y_n- XY|>\varepsilon)=P(|X_n Y_n+X_nY-X_nY- XY|>\varepsilon)
[/mm]
[mm] \le P(|X_n||Y_n-Y|+|X_n-X||Y|>\varepsilon)
[/mm]
[mm] \le P(|X_n||Y_n-Y|>\varepsilon/2)+P(|X_n-X||Y|>\varepsilon/2)
[/mm]
Da möchte ich beide Summanden durch beliebiges c>0 abschätzen. Mir machen aber |Y| und [mm] |X_n| [/mm] Probleme, da ich glaube, dass diese beliebig groß sein können...
Weiß jemand was zu dieser Aufgabe zu sagen?
Vielen Dank& Gruß
mili
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> Es seien [mm]X_n, Y_n, n\in\IN[/mm] und X,Y Zufallsvariablen auf dem
> gleichen Wahrscheinlichkeitsraum und es gelte [mm]X_n\to[/mm] X,
> [mm]Y_n\to[/mm] Y im Sinne der stochastischen Konvergenz.
>
> Zeigen Sie: [mm]X_n*Y_n\to[/mm] X*Y im Sinne der stochastischen
> Konvergenz.
>
> Hallo,
>
> Ich wollte das mit der Dreiecksungleichung lösen.
>
> Zu zeigen ist [mm]P(|X_n Y_n- XY|>\varepsilon)\to0,n\to\infty.[/mm]
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> [mm]P(|X_n Y_n- XY|>\varepsilon)=P(|X_n Y_n+X_nY-X_nY- XY|>\varepsilon)[/mm]
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> [mm]\le P(|X_n||Y_n-Y|+|X_n-X||Y|>\varepsilon)[/mm]
> [mm]\le P(|X_n||Y_n-Y|>\varepsilon/2)+P(|X_n-X||Y|>\varepsilon/2)[/mm]
Der Ansatz ist schon der richtige.
>
> Da möchte ich beide Summanden durch beliebiges c>0
> abschätzen. Mir machen aber |Y| und [mm]|X_n|[/mm] Probleme, da ich
> glaube, dass diese beliebig groß sein können...
Ja. Daher solltest du in etwa so argumentieren: Du kannst Konstanten M wählen, sodass P(|Y|>M) und [mm] P(|X_n|>M) [/mm] beliebig klein wird. Das gibt ein bisschen "Fummelei" mit epsilons, aber mit geschickter Abschätzung lässt sich das gewünschte zeigen.
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> Weiß jemand was zu dieser Aufgabe zu sagen?
>
> Vielen Dank& Gruß
> mili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Fr 09.12.2011 | | Autor: | mili03 |
Hm.... mit den ganzen epsilons komme ich nicht wirklich weiter, weil ich dafür noch zu wenig Gespür habe. Ich fände es total klasse, wenn jemand das für mich mal vorrechnen könnte, dann verstehe ich es vllt in Zukunft!
Viele Dank,
mili
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Hallo,
auf meinem aktuellen Übungszettel befindet sich unter anderem auch diese Aufgabe, es ist wahrhaft kein Vergnügen, wenn man das Ganze mit Epsilontik lösen will.
Sei [mm] \varepsilon>0, \delta>0 [/mm] beliebig.
Wähle [mm] $0
[mm] $P(|X|\ge\tfrac{M}{2})<\tfrac{\delta}{2}$ [/mm] und [mm] $P(|Y|\ge M)<\delta$.
[/mm]
Wegen stochastischer Konvergenz von [mm] $X_n$ [/mm] gegen $X$ gibt es [mm] $N_1\in\IN$ [/mm] sodass für [mm] $n\ge N_1$ [/mm] gilt:
[mm] $P(|X_n-X|\ge\tfrac{M}{2})<\frac{\delta}{2}$.
[/mm]
Damit folgt für [mm] $n\ge N_1$, [/mm] dass
(*) [mm] P(|X_n|\ge M)\le P(|X|+|X_n-X|\ge M)\le P(|X|\ge\tfrac{M}{2})+P(|X_n-X|\ge\tfrac{M}{2})<\tfrac{\delta}{2}+\tfrac{\delta}{2}=\delta
[/mm]
Auch aufgrund der stochastischen Konvergenz [mm] $X_n\to X,Y_n\to [/mm] Y$ gibt es [mm] $N_2,N_3\in\IN$ [/mm] sodass für [mm] $n\ge N_2, k\ge N_3$ [/mm] gilt:
(**) [mm] P(|X_n-X|>\tfrac{\varepsilon}{2M})<\delta,\quad P(|Y_k-Y|>\tfrac{\varepsilon}{2M})<\delta.
[/mm]
Damit können wir endlich rechnen. Für [mm] $n\ge\max\{N_1,N_2,N_3\}$ [/mm] gilt
[mm] P(|X_n Y_n-XY|>\varepsilon)=P(|X_n Y_n-X_n Y+X_n Y-XY|>\varepsilon)
[/mm]
[mm] \le P(|X_n||Y_n-Y|+|Y||X_n-X|>\varepsilon)\le P(|X_n||Y_n-Y|>\tfrac{\varepsilon}{2})+P(|Y||X_n-X|>\tfrac{\varepsilon}{2})
[/mm]
[mm] =\underbrace{P(|X_n||Y_n-Y|>\tfrac{\varepsilon}{2}, |X_n|>M)}_{<\delta\text{ wegen \*}} +\underbrace{P(|X_n||Y_n-Y|>\tfrac{\varepsilon}{2},|X_n|\le M)}_{<\delta\text{ wegen \*\*}}
[/mm]
[mm] +\underbrace{P(|Y||X_n-X|>\tfrac{\varepsilon}{2},|Y|>M)}_{<\delta\text{ wegen \*}}+\underbrace{P(|Y||X_n-X|>\tfrac{\varepsilon}{2},|Y|\le M)}_{<\delta\text{ wegen \*\*}}< 4\delta
[/mm]
Aus der Beliebigkeit von [mm] $\varepsilon,\delta>0$ [/mm] folgt die Behauptung.
Gruß
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