streng monoton steigend < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:34 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo liebe Experten ;)
Ich bräuchte da mal etwas Hilfe beim Nachweis von Monotonie. Ich will keine Informationen verschweigen, also poste ich mal lieber die ganze Aufgabe
Eine Funktion f:[0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] ist wie folgt definiert: f(0) := 0 und
[mm] f(\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}) [/mm] := [mm] \sum^{\infty}_{n=1}\frac{b_n}{3^n}
[/mm]
für jede Folge [mm] (a_n)_{n\ge 1} [/mm] mit [mm] a_n \not= [/mm] 0 für unendlich viele n und [mm] a_n \in \{0,1\} [/mm] für jedes n =1,2,3,...
DAbei ist [mm] b_n [/mm] = 0, wenn [mm] a_n [/mm] = 0
[mm] b_n [/mm] = 2, wenn [mm] a_n [/mm] =1
Und nun möchte ich zeigen, dass f streng monoton wachsend ist.
Nach Definition gilt ja,
[mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
Und wie zeigt man das jetzt bei der Aufgabe?
Ich habe da erst [mm] \br{b_n}{3^n}
[/mm]
genommen, für n=0
[mm] \br{b_n}{3^n}<\br{b_{n+1}}{3^{n+1}}
[/mm]
[mm] \br{b_0}{3^0}<\br{b_{1}}{3^{n+1}}
[/mm]
Da [mm] b_0 [/mm] ja 0 ist, behaupte ich einfach mal, dass das stimmt.
Nur allgemein zeigen, wie das?
[mm] \br{b_n}{3^n}<\br{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\br{b_{n+1}}{3*3^n}
[/mm]
Und jetzt multipliziere ich mit [mm] 3^n, [/mm] sodass sich [mm] 3^n [/mm] wegkuerzt und ich da habe
[mm] b_n [/mm] < [mm] b_{n+1}/3
[/mm]
und wenn [mm] b_n [/mm] = 0 ist und [mm] b_{n+1} [/mm] = 2, dann stimmt das ganze.
Das ist aber ganz schön gemogelt. Wie macht man es rictig?
Vielen lieben Dank!
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 03.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
Was weisst du über die [mm] b_n, [/mm] wenn [mm] a_n [/mm] nicht 1 oder 0 ist?
Warum sagst du, dass [mm] a_n
Deshalb versteh ich die Aufgabe ohne weitere Angaben nicht.
Wenn f monoton wachsend sein soll hat das doch mit der monotonie von [mm] a_n [/mm] nix zu tun?
Irgendwie versteh ich, was du versucht hast auch nicht.
Was genau ist die Aufgabe?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Also die genaue Aufgabenstellung ist
| Aufgabe |
Eine Funktion $f:[0,1] [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] ist wie folgt definiert: f(0) := 0 und
[mm] $f(\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}) [/mm] := [mm] \sum^{\infty}_{n=1}\frac{b_n}{3^n} [/mm] $
für jede Folge [mm] $(a_n)_{n\ge 1}$ [/mm] mit [mm] $a_n \not= [/mm] 0$ für unendlich viele n und [mm] a_n \in \{0,1\} [/mm] für jedes n =1,2,3,...
Dabei ist [mm] $b_n [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } a_n=0 \\ 2, & \mbox{wenn } a_n =1 \end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist.
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> Was weisst du über die [mm]b_n,[/mm] wenn [mm]a_n[/mm] nicht 1 oder 0 ist?
Dass [mm] b_n [/mm] 2 ist in dem Fall für [mm] a_n=1, [/mm] ansonsten Null
> Warum sagst du, dass [mm]a_n
> alle [mm]a_n=0,5[/mm] sein und die Summe damit 0,5. f(1)=2 da
> müssten alle anderen Summen über die [mm]b_n/3^n[/mm] ja kleiner
> sein.
Wie meinst du das?
> Deshalb versteh ich die Aufgabe ohne weitere Angaben
> nicht.
Dsa sind aber alle Angaben, die ich durch die Aufgabenstellung habe,
> Wenn f monoton wachsend sein soll hat das doch mit der
> monotonie von [mm]a_n[/mm] nix zu tun?
Ich bin etwas begriffsschwach, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") .. Ich verwechsel da gerne etwas. ich meine dann auch in der Tat nur streng monoton wachsend.
> Irgendwie versteh ich, was du versucht hast auch nicht.
Das Kriterium für streng monoton steigend lautet doch:
[mm] $a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}$
[/mm]
Und damit wollte ich arbeiten. Und da ich die Funktion f(von Summe) = summe ... nicht verstehe, habe ich mal beschlossen, dass ich das nur für [mm] b_n [/mm] testen muss und die Summe als Argument von f -> also f(diese summe) unwichtig ist, also nur die rechte Seite interessiert. Dachte ich mir so...
> Was genau ist die Aufgabe?
Siehe oben.
Mfg
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
Soweit ich verstehe, hab ich die {0,1} falsch gelesen und als (0,1) interpretiert. damit kann [mm] a_n [/mm] nur 0 oder 1 sein. und natürlich ist damit [mm] a_n [/mm] keine monotone Folge.
Du sollst beweisen dass die Funktion f(x) mit [mm] x=\summe_{n=1}^{\infty}a_n/2^n [/mm] monoton ist, dass also für x1<x2 folgt f(x1)<f(x2)
Die x sind als Dualzahlen dargestellt. so wie du jede Zahl<1 als [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n/10^n, a_n\in [/mm] {0,1,...,9} als Dezimalzahl darstellen kannst.
rechts stehen die Zahlen in Dreierdarstellung, allerdings nur die mit 0 und 2.
Vielleicht hilft dir das! z.Bsp ist 0.2 in 3-er system ist =0.1010101...periodisch im 2-er System
Gruss leduart
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