stückweise glatte Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] n\in \IN [/mm] . Gibt es eine stetige Funktion [mm] f:\IR^3\to \IR [/mm] für die gilt, das für alle stückweise glatten wege [mm] \gamma:[a,b]\to \IR^n [/mm] die Gleichung [mm] L(\gamma):=\integral_{\gamma}^{}{f(x) ds} [/mm] gilt? begründe! |
Ich habe mir erstmal über das begriffliche Gedanken gemacht:
1.Wenn eine Funktion glatt ist, dann ist sie unendlich differenzierbar
2.Eine stetige Funktion (hier gesucht) muss nicht glatt sein, aber jede glatte Funktion ist stetig.
Ich brauche alse eine unendlich oft differenzierbare Funktion die stetig ist.
[mm] \vektor{cosxsiny\\ sinx \\ cosx} [/mm] wäre das ein mögliches Beispiel?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]n\in \IN[/mm] . Gibt es eine stetige Funktion [mm]f:\IR^3\to \IR[/mm]
> für die gilt, das für alle stückweise glatten wege
> [mm]\gamma:[a,b]\to \IR^n[/mm] die Gleichung
> [mm]L(\gamma):=\integral_{\gamma}^{}{f(x) ds}[/mm] gilt? begründe!
> Ich habe mir erstmal über das begriffliche Gedanken
> gemacht:
>
> 1.Wenn eine Funktion glatt ist, dann ist sie unendlich
> differenzierbar
Unfug ! Schau nochmal nach, wie die Definition von "glatt" lautet.
> 2.Eine stetige Funktion (hier gesucht) muss nicht glatt
> sein, aber jede glatte Funktion ist stetig.
Jo.
Was soll das bisherige Gelaber ? Die Funktion f soll stetig sein, die Wege [mm] \gamma [/mm] sollen stückweise glatt sein.
>
> Ich brauche alse eine unendlich oft differenzierbare
> Funktion die stetig ist.
Nein. Du brauchst nur eine stetige Funktion.
(unendlich oft differenzierbar zieht Stetigkeit nach sich)
>
> [mm]\vektor{cosxsiny\\ sinx \\ cosx}[/mm] wäre das ein mögliches
> Beispiel?
Wie kommst Du darauf ? Ich sags Dir: Du hast im Nebel gestochert und hast nichts brauchbares getroffen. Warum ?
Weil Du weder nachdenkst noch die Aufgabe genau liest.
Das gesuchte f soll doch Werte in [mm] \IR [/mm] annehmen, also kommt Dein Kandidat mit Sicherheit nicht in Frage.
Nun zur Aufgabe:
1. Für einen stückweise glatten Weg $ [mm] \gamma:[a,b]\to \IR^n [/mm] $ gilt:
(1) [mm] L(\gamma)=\integral_{a}^{b}{||\gamma'(t)|| dt}
[/mm]
2. Sei $ [mm] f:\IR^n\to \IR [/mm] $ stetig. Dann ist das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x) ds} [/mm] definiert durch
(2) [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x) ds}= [/mm] ......................
Schreibt nun Du hier herein was für ............................ steht.
So und jetzt kommts: wenn Du die rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) vergleichst, dann kannst Du Dich überhaupt nicht dagegen wehren, dass Dir die gesucht Funktion f mit $ [mm] L(\gamma)=\integral_{\gamma}^{}{f(x) ds} [/mm] $ heftig ins Gesicht springt und schreit: "Mathegirl, nimm mich doch endlich "
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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Also das noch einzusetzende ist dann ja [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f( [mm] \gamma [/mm] (t) [mm] \parallel \gamma [/mm] '(t) [mm] \parallel [/mm] ) dt , aber wie genau der Vergleich hier jetzt weiterhilft kann ich irgendwie nicht sehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir suchen also eine Funktion f mit:
[mm] $\integral_{a}^{b}{||\gamma'(t)|| dt} =\integral_{a}^{b} [/mm] f( [mm] \gamma [/mm] (t)) [mm] \parallel \gamma [/mm] '(t) [mm] \parallel [/mm] dt$
für alle stückweise glatten wege $ [mm] \gamma:[a,b]\to \IR^n [/mm] $
Sieht man denn wirklich nicht, dass die konstante Funktion f(x)=1 das Verlangte leistet ?
FRED
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Doch, ist jetzt alles klar, ich war leider mit Blindheit geschlagen, ich danke vielmals für deine Antwort.
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Hmm oder ist hier eine Funktion f gesucht, die [mm] \gamma'(t)\parallel\gamma(t)\parallel [/mm] auf [mm] \parallel\gamma(t)\parallel [/mm] abbildet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Nein
FRED
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