subharmonisch < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm] \Omega \subset R^{n} [/mm] ein beschränktes Gebiet und [mm] u\in C^{3} [/mm] ( [mm] \Omega [/mm] ) und harmonisch, so ist w:= [mm] |\nabla u|^{2} [/mm] subharmonisch. |
Mein erstes Problem ist hier wie ich mit dem Betragsquadrat umgehen soll. Da [mm] \nabla [/mm] u ein Vektor ist denke ich dass [mm] w:=(\bruch{\partial u}{\partial x_{1}})^{2}+...+(\bruch{\partial u}{\partial x_{n}})^{2} [/mm] sein sollte.
Ich habe mir das ganze mal für n=1 überlegt:
[mm] (\bruch{\partial w}{\partial x})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})
[/mm]
und
[mm] (\bruch{\partial^{2} w}{\partial x^{2}})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}})+2*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})^{2}
[/mm]
Laut Angabe ergibt [mm] \Delta [/mm] u = 0. Damit fällt der zweite Term weg. Da er quadratisch ist wäre es aber auch egal, da ich zeigen muss, dass [mm] \Delta w\ge [/mm] 0 ist.
Die Frage ist nun was ich mit dem zweiten Term mache?! gibt es eine Bedingung die angibt, dass [mm] (\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}) \ge [/mm] 0 ist?!
|
|
| |
|
hab es jetzt schon selber rausgefunden. hier ist die erste ableitung schon 0. und bei n>1 kann man rausheben und es geht sich wieder aus!
Trotzdem Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mo 10.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Sei [mm]\Omega \subset R^{n}[/mm] ein beschränktes Gebiet und [mm]u\in C^{3}[/mm]
> ( [mm]\Omega[/mm] ) und harmonisch, so ist w:= [mm]|\nabla u|^{2}[/mm]
> subharmonisch.
>
> Mein erstes Problem ist hier wie ich mit dem Betragsquadrat
> umgehen soll. Da [mm]\nabla[/mm] u ein Vektor ist denke ich dass
> [mm]w:=(\bruch{\partial u}{\partial x_{1}})^{2}+...+(\bruch{\partial u}{\partial x_{n}})^{2}[/mm]
> sein sollte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, wenn der normale Betrag eines Vektors x = [mm] $(x_1, \ldots, x_n)^T$ [/mm] |x| = [mm] $\wurzel{x_1^2+ \ldots + x_n^2}$ [/mm] ist, so ist [mm]w:=(\bruch{\partial u}{\partial x_{1}})^{2}+...+(\bruch{\partial u}{\partial x_{n}})^{2}[/mm].
>
> Ich habe mir das ganze mal für n=1 überlegt:
>
> [mm](\bruch{\partial w}{\partial x})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})[/mm]
>
> und
> [mm](\bruch{\partial^{2} w}{\partial x^{2}})=2*(\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}})+2*(\bruch{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})^{2}[/mm]
>
> Laut Angabe ergibt [mm]\Delta[/mm] u = 0. Damit fällt der zweite
> Term weg. Da er quadratisch ist wäre es aber auch egal, da
> ich zeigen muss, dass [mm]\Delta w\ge[/mm] 0 ist.
>
> Die Frage ist nun was ich mit dem zweiten Term mache?! gibt
> es eine Bedingung die angibt, dass [mm](\bruch{\partial u}{\partial x})*(\bruch{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}) \ge[/mm]
> 0 ist?!
Sorry, hab mich bei dieser Aufgabe irgendwie vertan.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Mi 12.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
