suche eine Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Zu 0 < a < b gibt es eine unendlich oft differenzierbare Funktion f auf [mm] R^n [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] f [mm] \le [/mm] 1,
f(x) = 0 für |x| > b und
f(x) = 1 für |x| < a.
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Hi ihr lieben Mathe-Leute!
Könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe helfen? komme nicht weiter...
unser prof hat uns als tipp diese Funktion gegeben:
f(x) [mm] =\begin{cases} e^{- \bruch{1}{x²}}, & \mbox{für } x > 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \le 0\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
laut cauchy ist f unendlich oft diffbar im Nullpunkt mit
[mm] f^{(n)} [/mm] (x) = [mm] P_n(\bruch{1}{x}) e^{-\bruch{1}{x²}} [/mm] wobei [mm] P_n(x) [/mm] ein Polynom ist.
leider hat mich dieser tipp noch auf keine gute idee gebracht... würd mich sehr freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!!
viele grüße
Riley 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Fr 26.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
ein bissel basteln musst du schon selbst. zeichne doch mal die Fkt., die euch dein Prof. gegeben hat! verschieb sie, bilde dann 1-fkt. addieren, multiplizieren ausprobieren, und natürlich immer an den ganz flachen Stellen die konstanten Fkt. dransetzen, also stückweise definieren klar ist f(x)=1 für x<a und f(x)=0 für x>b und an den Übergangsstellen eben die Eigenschafft ausnutzen, dass alle Ableitungen von [mm] exp(-1/x^{2} [/mm] 0 sind!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
Ganz vielen dank für deine antwort.
die funktion von unsrem prof sieht doch so aus, oder?
[Dateianhang nicht öffentlich]
meinst du mit 1-funktion die umkehrfunktion?
versteh das noch nihct ganz, die funktion, die gesucht ist, die soll nur zwischen 0 und 1 verlaufen? wie kann das sein?
denn die prof-funktion geht doch für x-> +/- [mm] \infty [/mm] gegen 1 und zwischen -0,5 und 0,5 ist sie 0. meinst du das mit den flachen stellen, wo ich die konstante funktion dranbasteln soll?
und warum sind alle ableitungen von [mm] e^{-1/x²} [/mm] = 0???
... und dieses a und b, kann ich das irgendwo festlegen??
viele grüße, die grübelnde Riley *kopfqualm*
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Fr 26.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
> Hi Leduart!
> Ganz vielen dank für deine antwort.
> die funktion von unsrem prof sieht doch so aus, oder?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ja, aber das Bild täuscht, sie ist seehhr flach bei 0, weil ALLE Ableitungen 0 sind, aber sie ist NICHT =0 in dem Intervall -0,5/0,5 sondern nur sehr klein.
Weil sie alle abl. 0 hat kann man stetig und beliebig oft differenzierbar mit f(x)=0 für x>0 weitermachen.
> meinst du mit 1-funktion die umkehrfunktion?
nein ich meine f(x)= [mm] 1-exp(-1/x^{2}, [/mm] f(0)=1, und durch f(x)=1 für x>0 stetig und bel oft diffb. fortzusetzen!
jetzt musst du sie nur noch nach a oder b verschieben! Dann bist du halb fertig. experimentier einfach ein bissel rum, dafür kannst du ja feste Zahlen für a und b wählen,
> versteh das noch nihct ganz, die funktion, die gesucht ist,
> die soll nur zwischen 0 und 1 verlaufen? wie kann das
> sein?
>
> denn die prof-funktion geht doch für x-> +/- [mm]\infty[/mm] gegen
> 1 und zwischen -0,5 und 0,5 ist sie 0. meinst du das mit
> den flachen stellen, wo ich die konstante funktion
> dranbasteln soll?
>
> und warum sind alle ableitungen von [mm]e^{-1/x²}[/mm] = 0???
Weil [mm] e^{x^{2}} [/mm] schneller unendlich wird, als jedes Polynom!
> ... und dieses a und b, kann ich das irgendwo festlegen??
Wenn dus für 1 und 2 hast, kannst dus auch für a und b:
*kopfqualm* ist gut für die graue Materie! Mal mal die Fkt auf, die du ungefähr brauchst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!!
vielen dank für deine hilfe... hab nun eine idee
also |x| > b bedeutet doch -b >x > b und |x|< a so viel wie -a < x < -a, oder?
darf ich dann auch annehmen, dass b > a?
weil dann könnte ich ja für x < -b f(x) = 0 (rot) nehmen. bei x=-b geht das dann über in deine funktion f(x) = 1- e^(-1/x²)(grün) bis zu x=-a, dort ist es dann f(x) = 1 (lila) bis zu x=a, dann geht es über in den rechten "ast" vonf(x)=e^(-1/x²) (blau) und bei x = b dann wieder in f(x)= 0 (rot).... oder ist das ganz verkehrt?? weiß leider nicht wie man das mim pc gescheit darstellt... sorry...
[Dateianhang nicht öffentlich]
zum zeichnen ist das gut, aber wie setzt man denn die funktion dann richtig zusammen?? woher weiß ich das, um wieviel ich die funktion genau verschieben muss???
tausend dank für deine hilfe!!!
... bräuchte nur ein bissle mehr von der grauen materie...
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Fr 26.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
ansetzen kannst du nur an den Stellen mit f'=0. Verschieben kannst du die an die Stelle a , wenn du statt [mm] x^{2} [/mm] in den Exponenten [mm] (x-a)^{2} [/mm] schreibst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Sa 27.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi ldeuart!
also, ich brauch wirkich nur die funktionen [mm] f(x)=e^{-1/x²}, [/mm]
g(x) = 1 - [mm] e^{-1/x²} [/mm] , h(x)=1 und j(x)=0 zusammenbasteln?
d.h. ich müsste f(x) an j(x) = 0 setzen an der stelle wo die ableitungen verschwinden, und g(x) mit h(x)=1 auch an dieser flachen stelle zusammensetzen?
aber ich versteh das mit a und b noch nicht und wie f und g inenanderübergehen....??
viele grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 27.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm mal a=2, b=4 und experimentier mit den fkt in denen [mm] (x-4)^{2} [/mm] und [mm] (x-2)^2 [/mm] steht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 28.05.2006 | | Autor: | Riley |
hI! danke für den tipp, habs mal eingezeichnet und experimentiert, aber ich komm nicht weiter damit, wie ich die funtkionen zusammensetzen muss... *verzweifel*
gruß
riley
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Hallo Riley,
Um den Übergang zu gestalten kann man die Funktion ineinanderschachteln.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das mit dem verschieben bekommst Du sicher hin.
viele Grüße
mathemaduenn
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Do 01.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi mathemaduenn!
danke für das coole bild!
achso durch ineinanderschachteln... und das f(x) ist die funktion von unsrem prof, oder? aber warum hast du das dann nochmal *e genommen?
neh,das mim verschieben ist mir noch immer nicht klar... warum heißt es eigentlich dass Betrag von x >b bzw < a sein muss und nicht einfach x>b ??
vielen lieben dank für deine hilfe!
Gruß Riley
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Hallo Riley,
> achso durch ineinanderschachteln... und das f(x) ist die
> funktion von unsrem prof, oder? aber warum hast du das dann
> nochmal *e genommen?
f soll die Ausgangsfunktion sein und mal e nur aus kosmetischen Gründen- Du kannst ja selber schauen was passiert wenn man's weglässt. Übrigens hab ich da einen kleinen Fehler gemacht. Die von mir angegebene Funktion nützt gar nichts. Um darzustellen wieso hab ich mal das Argument mit dargestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt kannst Du Dir ja zur Sicherheit mal die Ableitungen an der Stelle 0 und an der Stelle 1 ausrechnen. Damit Du siehst das man dort auch eine Gerade ansetzen darf ohne die Differenzierbarkeit zu verlieren.
> neh,das mim verschieben ist mir noch immer nicht klar...
> warum heißt es eigentlich dass Betrag von x >b bzw < a sein
> muss und nicht einfach x>b ??
[mm] \vektor{30 \\ 4}>5 [/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Weil das im [mm] R^n [/mm] keinen Sinn machen würde - und man spricht dann von der Norm und schreibt auch meist [mm]||x||[/mm] . Welche Norm soll's eigentlich sein(euklidisch?)
Und zum verschieben wie würdest Du denn folgende Aufgabe lösen?
Sei f eine stetige Funktion f :R->R mit f(x)=1 für |x|<a f(x)=0 |x|>b (Tipp: Geraden reichen hier).
viele Grüße
mathemaduenn
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Do 01.06.2006 | | Autor: | Riley |
HI!
Danke für deine hilfe! 
wie lässt du denn die funktionen immer zeichnen? hab leider gar kein taschenrechner oder programm mit dem ich das machen kann!
also eigentlich müsste doch die ableitung bei 0 und 1 null sein, damit das mit der geraden passt? nur für f'(x) bekomm ich:
f'(x) = [mm] e^{-1/x²} [/mm] * [mm] \bruch{2}{x³} [/mm] und f'(1)= [mm] \bruch{2}{e} [/mm] - das kann irgendwie nicht sein, oder?
achso... klar, ich vergess das immer dass x ein vektor ist *ops*...
ja die euklidische norm.
hm, ich weiß nicht so genau, weil wenn f(x) = 1 ist, dann ist das ja einfach ne gerade parallel zur x-achse und f(x)=0 auch - und dann ist ja irgendwo ein sprung drin oder ?? und ist es eigentlich egal ob a>b oder b<a ???
viele grüße
riley
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Hallo nochmal,
> wie lässt du denn die funktionen immer zeichnen? hab
> leider gar kein taschenrechner oder programm mit dem ich
> das machen kann!
Mit ![[]](/images/popup.gif) funkyplot von Marc.
> also eigentlich müsste doch die ableitung bei 0 und 1 null
> sein, damit das mit der geraden passt? nur für f'(x) bekomm
> ich:
> f'(x) = [mm]e^{-1/x²}[/mm] * [mm]\bruch{2}{x³}[/mm] und f'(1)= [mm]\bruch{2}{e}[/mm]
> - das kann irgendwie nicht sein, oder?
Ich meinte eigentlich die Funktion e*f(1-e*f(x)) zusammen mit der vorgegebenen Tatsache das f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=....=0
> achso... klar, ich vergess das immer dass x ein vektor ist
> *ops*...
> ja die euklidische norm.
Schick dann bemerke ich mal das [mm] ||x||_2^2 [/mm] eine beliebig of diffbare Abbildung von [mm] R^n->R [/mm] ist. Vielleicht brauchst Du das ja später noch für die Aufgabe.
> hm, ich weiß nicht so genau, weil wenn f(x) = 1 ist, dann
> ist das ja einfach ne gerade parallel zur x-achse und
> f(x)=0 auch - und dann ist ja irgendwo ein sprung drin oder
> ?? und ist es eigentlich egal ob a>b oder b<a ???
Einen Sprung darf eine stetige Funktion nat. nicht haben also ein Bild was ich meinte war sowas:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn Du Dir klar gemacht hast wie man diese Funktion (stückweise) durch Geraden definiert was vllt. zunächst einfacher ist, kannst Du den Übergang(von 0 nach 1 und umgekehrt) durch e*f(1-e*f(x)) ersetzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
danke für den link, das funkyplot ist ja cool! *begeistertbin*
hm, darf ich die funktion so definieren, dass
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < -2 \mbox{} \\ g(x), & \mbox{für -2< x < -1 \\ 1, & \mbox {für} } -1< x < 1 \\ h(x), & \mbox {für} x>1 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
wobei g und h eben diese schrägen geraden sind. ???
und dann müsste ich die geraden durch e*f(1-e*f(x)) ersetzen? aber wo sind dann die stellen a und b??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> Hi Mathemaduenn!
> danke für den link, das funkyplot ist ja cool!
> *begeistertbin*
>
> hm, darf ich die funktion so definieren, dass
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < -2 \mbox{} \\ g(x), & \mbox{für -2< x < -1 \\ 1, & \mbox {für} } -1< x < 1 \\ h(x), & \mbox {für} x>1 \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> wobei g und h eben diese schrägen geraden sind. ???
Was ist denn mit x=-2,x=-1,x=1,x>2?
> und dann müsste ich die geraden durch e*f(1-e*f(x))
> ersetzen?
e*f(1-e*f(x)) ist eine Funktion die für [mm] x\le0 [/mm] 1 ist und für [mm] x\ge1 [/mm] 0. Wenn man das Verhalten ändern will kann man z.B. für x was anderes einsetzen.
> aber wo sind dann die stellen a und b??
Im Bsp.? a ist 1 bist 2
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi mathemaduenn!
besten dank für deine geduldigen erklärungen.
d.h. ich muss [mm] \le [/mm] statt < schreiben?
ja, wenn ich x-1 bzw x-a setze verschieb ich die funktion parallel zur x-achse nach rechts, oder?
und x + b nach links?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> besten dank für deine geduldigen erklärungen.
> d.h. ich muss [mm]\le[/mm] statt < schreiben?
Ja man vermeidet es allerdings i.d.R. Punkte doppelt zu definieren.
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ x, & \mbox{für } 0\le x <1 \\ 1, & \mbox{für } x\ge 1\end{cases}
[/mm]
> ja, wenn ich x-1 bzw x-a setze verschieb ich die funktion
> parallel zur x-achse nach rechts, oder?
> und x + b nach links?
Ja und wenn Du statt x 4x einsetzt wird die Funktion "gestaucht" (diese Wortwahl ist vllt. nicht Standard aber auf e*f(1-e*f(x)) zutreffend)
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi mathemaduenn!
danke für deine erklärung. reicht es nicht aus, wenn ich die funktion verschiebe, muss ich sie auch noch "stauchen" ??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Bsp.: a=1 b=1,1
Durch reines Verschieben wirst Du bei diesen Werten nicht weiterkommen und am Schluß sollst Du ja wohl auch ein allgemeines a bzw. b einsetzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Fr 26.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Ich möchte eine vielleciht mögliche Alternative zu der Funktion, die der Prof gegeben hat, vorschlagen.
Sei A die Menge, auf der f=1 und B die Menge, auf der f=0. Weiter sei [mm] \delta_{A}(x) [/mm] die Abstandsfunktion (Abstand von x zu der Menge A). Dann erfüllt:
[mm] f(x):=\bruch{\delta_{B}(x)}{\delta_{A}(x)+\delta_{B}(x)}
[/mm]
die Forderungen an f. Ich bin mir nur nicht sicher, ob die Funktion unedlich oft diffbar ist, aber die ist auf jeden Fall stetig, f(A)=1, f(B)=0 und bildet nach [0,1] ab.
Gruß,
dormant
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Hallo dormant,
Um zu sehen das diese Funktion nicht diffbar ist kann man sie sich im [mm] R^1 [/mm] aufschreiben. Zwischen den Funktionswerten 1 und 0 ergibt das einfach eine Gerade.
viele Grüße
mathemaduenn
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