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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:38 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Es seien $A$ und $B$ Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $\emptyset\not=A\subset [/mm] B$.
Zeigen Sie: [mm] $\sup A\le \sup [/mm] B$. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösung lautet:
Voraussetzung: A und B sind nach oben beschränkt, d. h. es gibt eine kleinste obere Schranke a von A und eine kleinste obere Schranke b von B.
Zunächst gilt:
[mm] \forall x\in [/mm] A: [mm] x\le [/mm] a oder [mm] x\le [/mm] sup A
[mm] \forall y\in [/mm] B: [mm] y\le [/mm] b oder [mm] y\le [/mm] sup B
Da jedoch [mm] A\subset [/mm] B gilt insbesondere
[mm] \forall [/mm] x [mm] \inA: [/mm] x [mm] \le [/mm] sup B
und daraus ergibt sich wiederum
sup A [mm] \le [/mm] sup B
Ich habe das Gefühl, dass mir bei der Begründung der letzten beiden Schritte was fehlt... Was kann ich denn da noch schreiben?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
Schöne Grüße
Schalk
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Hallo,
erstmal ist die Aufgabenstellung nicht ganz sinnvoll, vieleicht auch ein Problem mit den Formelgrafiken? Aus deinem Ansatz schließe ich, dass es richtig heißt "Es seien A und B Teilmengen von [mm] \IR [/mm] mit A [mm] \subset [/mm] B. Zeigen Sie sup A [mm] \le [/mm] sup B"
Dein Ansatz ist bis auf ein paar Kleinigkeiten richtig. Du hast zunächst das Vollständigkeitsaxiom richtig angewendet. Dann hast du aber etwas durcheinander gebracht - die kleinste obere Schranke ist doch das Supremum  Das Supremum einer Menge muss nicht zu der Menge selbst gehören, wenn es dazugehört heißt es Maximum. Beispiel: Für die Menge M = {1,2,3,4,5} gilt sup M = max M = 5. Definert man aber N = [mm] \{x | x<5 \}, [/mm] dann gilt sup N=5 und ein Maximum hat die Menge nicht.
Alles klar? Dann kannst du deine Lösung daraufhin nochmal überarbeiten.
Viele Grüße,
Julia
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