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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Di 11.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Puh ein Beispiel noch, dann hab ich endlich das Skriptkapitel geschafft.
Und zwar:
geg.:Zeigen Sie:
f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] für alle Funktionen g,h : B [mm] \to [/mm] C gilt: (g [mm] \circ [/mm] f = h [mm] \circ [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] g = h)
Das Ganze ist wieder mit Hilfe 2er Richtungen zu beweisen
Was mir bei der [mm] \Leftarrow [/mm] (Vorraussetzung: g,h ; B [mm] \to [/mm] C: g [mm] \circ [/mm] f = h [mm] \circ [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] g = h
zu zeigen Surjektivität, sprich y = f(x)
Das ganze wird jetzt mit einem Widerspruchsbeweis gemacht
angenommen: f ist nicht surjektiv
daher f(A) ?? -> hier der erste kleine Störfaktor Hat das f(A) irgend etwas zu bedeuten oder ist es nur irgendeine Funktion. Aber A ist doch eine Menge -> also das kann kein Zufall sein oder?
daher gibt es mindestens ein y* : y* [mm] \in [/mm] B , y* [mm] \in [/mm] f(A)
Also es gibt mindestens ein y* welches kein Urbild aufweist
c1, c2 [mm] \in [/mm] C
Warum gilt dann:
g(y) = h(y) = c1 außer wenn ich y* nehme
Was ich mich jetzt frage wieso kann ich nur wenn ich Surjektivität habe y in C zu einem c1 überweisen? Wieso geht dass nicht auch mit y* zumal ja c1 keine besonderen Eigenschaften hat welche es nur mit Surjektivität machen würde dieses Element in c1 zu erreichen, oder doch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Reager!
Schaue bitte auf https://matheraum.de/read?i=32063, dort habe ich die gleiche Frage schon einmal beantwortet.
Wenn es Probleme geben sollte, kannst du hier gerne weiter fragen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Reaper |
>Es gilt allerdings nicht automatisch f(A) = B - wenn dem nämlich nicht so >ist, dann >wissen wir von Elementen aus [mm] B\f(A) [/mm] nicht, ob auch für sie >ihre Bilder in k und h übereinstimmen.
Hallo ich denke ich habe es verstanden. Besser mich aus wenn meine Überlegung falsch ist. Wenn f(A) nicht gleich B ist dann wissen wir ja nur wegen der Defintion h [mm] \circ [/mm] f = k [mm] \circ [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] g = h nicht das h und k auf dasselbe Element in k abbilden, oder? Denn laut Definition spielt ja f eine tragende Rolle damit überhaupt die Abbildungen k und h gleich sein können, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Hannes!
> Hallo ich denke ich habe es verstanden. Besser mich aus wenn meine Überlegung falsch ist. Wenn f(A) nicht gleich B ist dann wissen wir ja nur wegen der Defintion h $ [mm] \circ [/mm] $ f = k $ [mm] \circ [/mm] $ f $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ g = h nicht das h und k auf dasselbe Element in k abbilden, oder? Denn laut Definition spielt ja f eine tragende Rolle damit überhaupt die Abbildungen k und h gleich sein können, oder?
Wir wissen lediglich von den Elementen aus $f(A)$, dass sie von $h$ und $k$ auf gleiche Elemente abgebildet werden. Falls $f(A)=B$ gilt, werden folglich alle Elemente des Definitionsbereiches B von h und k auf das gleiche Element abgebildet. Falls [mm] $f(A)\not= [/mm] B$ ist, können wir keine Aussage darüber machen, ob die Bilder der Elemente aus [mm] $B\setminus [/mm] f(A)$ ebenfalls in h und k übereinstimmen. Somit ist $f(A)=B$ eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung für die Implikation $h=k$.
Ist es nun klarer?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Ja eh dass hab ich aj eh gemeint. Was war denn bei meiner Formulierung falsch? f spielt nun mal eine tragende Rolle, denn nur durch f(A) (wenn f(A) ein Urbild in A besitzt) wissen wir dass g und h auf dasselbe Element in C abbilden. Und das ist doch die Definition g [mm] \circ [/mm] f bzw h [mm] \circ [/mm] f oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
> Was war denn bei meiner Formulierung falsch?
So ziemlich alles. Ich will es mal aufschlüsseln:
> Wenn f(A) nicht gleich B ist dann wissen wir ja nur wegen der Defintion $h [mm] \circ [/mm] f = k [mm] \circ [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] g = h$
Hier tauchen einmal $h$ und $k$ und dann $g$ und $h$ auf. Das macht keinen Sinn. Außerdem ist es keine Definition, sondern eine Bedingung.
> nicht das h und k auf dasselbe Element in k abbilden, oder? Denn laut Definition spielt ja f eine
> tragende Rolle damit überhaupt die Abbildungen k und h gleich sein können, oder?
Was meinst du damit: "spielt eine tragende Rolle"? Versuche bitte das mathematisch auszudrücken.
> f spielt nun mal eine tragende Rolle,
> denn nur durch f(A) (wenn f(A) ein Urbild in A besitzt)
$f(A)$ kann kein Urbild in $A$ besitzen, höchstens eine Urbildmenge (und die besitzt es immer nach Definition).
> wissen wir dass g und h auf dasselbe Element in C abbilden.
> Und das ist doch die Definition g [mm]\circ[/mm] f bzw h [mm]\circ[/mm] f
> oder?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich denke du hast Hannos Argumentation noch nicht verstanden. Du solltest sie noch einmal in Ruhe durcharbeiten...
Viele Grüße
Julius
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