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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 02.11.2005 | | Autor: | denwag |
hi, hab mal wieder einen lernanschub nötig, weiß nämlich nicht wie ich an die aufgabe ran gehen muss. vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen.
Es seien ( [mm] G_{1}, [/mm] +_{1}) und ( [mm] G_{2}, [/mm] +_{2}) zwei Gruppen. Zeigen Sie, dass die Menge G = [mm] G_{1} [/mm] × [mm] G_{2} [/mm] versehen mit der Operation
( [mm] x_{1}, x_{2}) [/mm] + ( [mm] y_{1}, y_{2}) [/mm] = ( [mm] x_{1} [/mm] +_{1} [mm] y_{1}, x_{2} [/mm] +_{2} [mm] y_{2})
[/mm]
wieder eine Gruppe ist. Man zeige weiterhin, dass G genau dann kommutativ ist, wenn die beiden Gruppen [mm] G_{1} [/mm] und [mm] G_{2} [/mm] kommutativ sind.
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo!
Hier musst du die Gruppenaxiome überprüfen.
Zum Beispiel:
Existenz eines neutralen Elements:
Seien [mm] $0_1\in G_1,\ 0_2\in G_2$ [/mm] jeweils das neutrale Element von [mm] $G_1$ [/mm] bzw. [mm] $G_2$. [/mm] Dann gilt für alle [mm] $(x,y)\in G_1\times G_2$:
[/mm]
[mm] $(x,y)+(0_1,0_2)=(x+0_1,y+0_2)=(x,y)$ [/mm] sowie [mm] $(0_1,0_2)(x,y)=(0_1+x,0_2+y)=(x,y)$.
[/mm]
Also ist [mm] $(0_1,0_2)$ [/mm] das neutrale Element von [mm] $G_1\times G_2$.
[/mm]
Ist dir jetzt klar, wie du an die Aufgabe rangehen musst?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 02.11.2005 | | Autor: | denwag |
danke schon mal für den ansatz.
jetzt muss ich noch das inverse element und das assoziativgesetz zeigen, richtig?
das assoziativgesetz lautet ja (a*b)*c=a*(b*c).
wie soll ich das zeigen ich hab doch nur 2 variablen.
bitte nochmals um hilfe.
bitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich glaube du verwechselst da was. Wie meinst du das: Nur zwei Variablen? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Es seien [mm] $(x_1,x_2)$, $(y_1,y_2)$ [/mm] und [mm] $(z_1,z_2)$ [/mm] aus [mm] $G_1 \times G_2$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gilt, da das Assoziativgesetz in [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$ [/mm] gilt:
[mm] $[(x_1,x_2) [/mm] + [mm] (y_1,y_2)] [/mm] + [mm] (z_1,z_2)$
[/mm]
[mm] $=(x_1 [/mm] +_1 [mm] y_1,x_2 [/mm] +_2 [mm] y_2) [/mm] + [mm] (z_1,z_2)$
[/mm]
[mm] $=((x_1 [/mm] +_1 [mm] y_1) [/mm] +_1 [mm] z_1, (x_2 [/mm] +_2 [mm] y_2) [/mm] +_2 [mm] z_2)$
[/mm]
$= [mm] (x_1 [/mm] +_1 [mm] (y_1 [/mm] +_1 [mm] z_1), x_2 [/mm] +_2 [mm] (y_2 [/mm] +_2 [mm] z_2))$
[/mm]
$= [mm] (x_1,x_2) [/mm] + [mm] (y_1 [/mm] +_1 [mm] z_1, y_2 [/mm] +_2 [mm] z_2)$
[/mm]
[mm] $=(x_1,x_2) [/mm] + [mm] [(y_1,y_2) [/mm] + [mm] (z_1,z_2)]$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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