surjektiv, injektiv! < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Aufgabenstellung:
a) Zeichnen Sie die Funktion f : R -> R gegeben durch f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] − 1 (*) im Bereich [-4,4]. Ist die Funktion f inkektiv, surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Schränken Sie den Wertebereich von f so ein, dass sie surjektiv wird.
c) Schränken Sie nun auch den Definitionsbereich so ein, dass sie injektiv wird. Zeichnen Sie diese neue Funktion, geben Sie ihr den Namen g.
d)Bestimmen Sie rechnerisch und graphisch die Umkehrfunktion von g und geben Sie sie wie in (*) an.
zu a) Ich habe die Funktion gezeichnet und ich bin der Meinung dass sie surjektiv ist, da jedes y 2mal getroffen wird.
zu b) Die Funktion ist doch schon surjektiv, muss ich den Wertebereich trotzdem einschränken?
zu c) Hier bin ich mir nicht sicher. Ich hätte den Definitionsbereich so eingeschränkt: x E N (also aller natürlicher Zahlen). Dann würde jedes y nur einmal getroffen und die F. ist somit injektiv. Stimmt das?
zum zeichnen: Die Funktion ist doch noch die gleiche wie bei a) oder? Nur dass ich nicht soviel zeichne.
Das ist etwas umfangreich, ich würde mich trotzdem total freuen wenn mir jem. helfen würde bzw. könnte. Vielen vielen Dank schonmal im voraus!
|
|
| |
|
Halli hallo!
Also ich habe die funktion ebenfalls gezeichnet!
a)Ich komme darauf, dass diese Funktion weder injektiv noch surjektiv ist!
Sie ist nicht injektiv da z.B. f(1)=f(-1) obwohl offensichtlich 1=-1.
Surjektiv bedeutet ja, dass jedes y aus dem gegebenen Wertebereich ein Urbild besitzt, dies ist aber nicht der Fall. die Funktion ist ja eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt in (0,-1), d.h. alle y<-1 haben kein Urbild!
b) ergibt sich ja quasi aus a)! Der Wertebereich ist y [mm] \in [/mm] [-1, [mm] \infty [/mm] )
c) hier mußt du die Funktion so auf D einschränken, dass für alle x [mm] \in [/mm] D gilt:
f( [mm] x_{1} [/mm] )= f( [mm] x_{2} [/mm] ) [mm] \gdw x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
bzw. [mm] x_{1} \not= x_{2} \gdw [/mm] f( [mm] x_{1} [/mm] ) [mm] \not= [/mm] f( [mm] x_{2} [/mm] )
hier hast du also zwei Möglichkeiten:
Einmal die Einschränkung D=[-4,0] oder aber D=[0,4]
ich schätze mal letztere ist diejenige die man normalerweise wählt.
d) da g nun surjektiv und injektiv, also somit bijektiv ist, existiert nun ihre umkehrfunktion. wie man sie berechnet, ist glaub ich klar, oder?
Wenn du noch fragen hast, dann meld dich einfach nochmal!
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
| |
|
hallo cremchen!
vielen dank für deine ausführliche erklärung, du hast mehr sehr geholfen!
Ich habe die Umkehrfunktion gemacht und erhalte g(y)= [mm] \wurzel{2y+1}
[/mm]
Wenn ich diese Funktion aber zeichne, stellt sich heraus dass dies nicht die Umkehrfunktion ist. Weißt du was ich falsch gemacht habe oder wie man es richtig umkehrt? Ich hab einfach von f(x)=... so umgerechnet, dass x=... da steht (also g(y)=..)
|
|
|
| |
|
Hi!
ich glaube du hast dich nur verrechnet! Dein Vorgehen ist richtig, du hast nur beim multiplizieren mit 2 die 1 vergessen.
[mm] g^{-1} [/mm] (x) = [mm] \wurzel{2x+2}
[/mm]
probiers nochmal damit, eigentlich müßte es so nun stimmen!
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
|
