surjektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 So 19.12.2004 | | Autor: | kalina |
Hallo, ich habe Probleme mit folgendem Beweis. Ich kann ihn irgendwie nicht nachvollziehen. Das Y bringt mich total durcheinander:
Sei X eine Menge. Man zeige: Es gibt keine surjektive Abbildung von X auf die Potenzmenge P(X).
Lösung: Angenommen es gibt eine Menge X und eine surjektive Abbildung f von X nach P(X).
Wir definieren: Y:={x [mm] \in [/mm] X/ x [mm] \not\in [/mm] f(x)}. Man beachte hierbei, dass x ein Element
von X, f(x) aber eine Teilmenge von X ist. Da wir annehmen, f sei surjektiv, gibt es ein
[mm] y\in [/mm] X mit f(y)=Y. Dies werden wir nun zum Widerspruch führen. Für y unterscheiden wir
nun zwei Fälle:
a) [mm] y\in [/mm] Y -> y [mm] \not\in [/mm] f(y) -> y [mm] \not\in [/mm] Y -> Widerspruch
b) [mm] y\in X\Y [/mm] -> [mm] y\in [/mm] f(y) -> [mm] y\in [/mm] Y -> Widerspruch
y liegt also weder in Y noch in [mm] X\Y, [/mm] was nicht möglich ist. Folglich war die Annahme,
dass es eine surjektive Funktion von X auf P(X) gibt, falsch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 So 19.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Kalina!
Keine Panik, das ist alles halb so schlimm 
Wie du weißt, bildet die Abbildung $f$ jedes beliebige Element [mm] $x\in [/mm] X$ auf eine Teilmenge [mm] $f(x)\subseteq [/mm] X$ ab. Dann gibt es für ein solches $x$ genau zwei Möglichkeiten bezüglich des Enthaltenseins in $f(x)$. Entweder es gilt [mm] $x\in [/mm] f(x)$ oder aber [mm] $x\notin [/mm] f(x)$. Wir betrachten nun die Menge derjenigen $x$, für die [mm] $x\notin [/mm] f(x)$ gilt und nennen diese Menge Y. Diese Menge Y ist logischer Weise auch eine Teilmenge von X. Da die Abbildung $f$ nach Voraussetzung surjektiv ist, muss es also auch zu dieser Teilmenge Y ein [mm] $y\in [/mm] X$ mit $f(y)=Y$ geben. Jetzt treten wieder zwei Möglichkeiten auf: entweder liegt y in $f(y)=Y$ oder aber es liegt nicht in $f(y)=Y$. Nehmen wir ersteres an, d.h. also, das [mm] $y\in [/mm] f(y)=Y$ gilt. Dann gilt aber nach Definition von $Y$ auch [mm] $y\notin [/mm] f(y)=Y$, da Y genau die Elemente beinhaltet, die nicht in der Menge enthalten sind, auf die sie abgebildet werden. Es gilt also [mm] $y\in f(y)\Rightarrow y\notin [/mm] f(y)$, was ein Widerspruch ist. Daher nehmen wir an, dass [mm] $y\notin [/mm] f(y)=Y$ gilt. Wieder gilt nach Definition von Y, dass - da ja y nicht in der Menge liegt, auf die es abgebildet wird - [mm] $y\in [/mm] f(y)=Y$ gilt. Es gilt also die Implikation [mm] $y\notin f(y)\Rightarrow y\in [/mm] f(y)$, was abermals einen Widerspruch darstellt. Somit führt die Voraussetzung, dass die Abbildung $f$ surjektiv ist, zu einem unverhinderbaren Widerspruch. Daher kann $f$ nicht surjektiv sein.
Ich hoffe ich konnte es dir ein wenig besser klar machen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mo 20.12.2004 | | Autor: | kalina |
ja, nach 3 Stunden hab ich's endlich kapiert. Aber das ist ja echt ne komplizierte Beweisführung. Wer ist denn darauf gekommen? Geht sowas immer so umständlich oder gibt es auch einfacherere Beweismöglichkeiten? Naja, wie dem auch sei. Ich will jetzt endlich pennen. Wünsch euch n gutes Nächtl und ich danke dir sehr Hanno!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:40 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Kalina!
Klar, der Beweis ist umständlich, aber es ist doch ehrlich gesagt eine sehr "schöne" und kreative Methode, um dieses Problem zu lösen. Du hättest es auch ganz spröde lösen können, indem du über die Mächtigkeit der Mengen argumentiert hättest - hat die Menge X hat die Kardinalität n, so beträgt die Kardinalität von [mm] $\cal{X}$ [/mm] schon [mm] $2^n$. [/mm] Eine surjektive Abbildung ist zwischen diesen Mengen nicht möglich - warum, das kannst du dir selbst überlegen :)
Liebe Grüße,
Hanno
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