sylowgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Di 06.05.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Es sei q [mm] \in \Z_3 [/mm] eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung 2q. Zeige folgende
Aussagen:
(i) Es gibt genau eine q-Sylowgruppe [mm] H_q \subset [/mm] G und die Anzahl [mm] s_2 [/mm] der 2-Sylowgruppen in G ist
[mm] s_2 [/mm] = 1 oder [mm] s_2 [/mm] = q. Ist [mm] s_2 [/mm] = 1, so ist G zyklisch.
(ii) Ist s2_ = q, so gibt es einen Erzeuger [mm] \alpha [/mm] von [mm] H_q [/mm] und [mm] \beta \in [/mm] G, sodass G = [mm] <\alpha, \beta> [/mm] und G= [mm] H_q \cup \beta H_q [/mm] gelten.
(iii) Die oben de nierten Elemente [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta\alpha [/mm] besitzen Ordnung 2.
(iv) Es existiert ein Isomorphismus [mm] \phi:G \rightarrow D_q [/mm] mit [mm] \alpha \rightarrow \delta; \beta \rightarrow \sigma [/mm] . . |
hallo zusammen,
kann mir jemand eine starthilfe bzw einen tipp geben, wie ich beginngen kann.
meine idee zu i) da die |G|=2q und da q prim ex. die q-sylow-Gruppe und 2-Sylow-gruppe.
da 2^1q heißt es für mich dass es nur eine 2-sylow gruppe ex und somit folgt aus der def. dass G zyklisch ist.
dankeschön im voraus
gruß
knowhow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Di 06.05.2014 | | Autor: | hippias |
Die Bedingung an das $q$ ist mir unklar. Ich schaetze, es ist $q>2$ vorausgesetzt. Das
> da 2^1q heißt es für mich dass ...
ist fuer mich voellig unverstaendlich.
Mein Tip: Teile doch mal mit, wie die Sylowsaetze lauten. Die sollten uns die Hauptarbeit abnehmen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:56 Di 06.05.2014 | | Autor: | knowhow |
ok, hier mal die sylowsatz
Es seinen G eine gruppe |G|=n und p [mm] \in \IZ_{\ge1} [/mm] eine Primzahl
i) Jede p-Untergrp. von G ist in einer p-sylowgrpe von G enthalten.
ii) Je zwei p-sylow-gruppen in G sind konjugiert zueinander.
iii) Für die anzahl s der p-sylow gruppe in G gilt
s|n und s [mm] \equiv [/mm] 1 mod p
ins. gibt es mind. eine p-Sylow grpe in G
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 06.05.2014 | | Autor: | hippias |
Gut. Es sei [mm] $S\in Syl_{2}(G)$ [/mm] und [mm] $Q\in Syl_{q}(G)$. [/mm] Als erstes kannst du dir klarmachen, dass die Sylowgruppen zyklisch sind. Dazu nimm ein beliebiges Element [mm] $x\neq [/mm] 1$ der Sylowgruppe. Nach dem Satz von Lagrange gilt welcher Zusammenhang zwischen der Ordnung von $x$ und der Ordnung der Sylowgruppe? Was folgt daraus, weil die Sylowgruppe Primzahlordnung hat?
Zu (i) Als Anzahlen der Sylowgruppen kommen nur Teiler der Gruppenordnung in Frage. Wegen $|G|=2q$, $q$ ungerade, gibt es insgesamt nur $4$ Teiler.
[mm] $s_{2}$ [/mm] is also ein ungerader Teiler der Gruppenordnung. Welche Zahlen kommen also in Frage?
[mm] $s_{q}$ [/mm] ist ebenfalls ein Teiler von $2q$ mit [mm] $s_{q}\equiv_{q} [/mm] 1$. Wie gross waere also [mm] $s_{q}$ [/mm] mindestens, wenn [mm] $s_{q}\neq [/mm] 1$ waere? Kann das angehen?
Fuer dem Fall [mm] $s_{2}=1$: [/mm] Mache dir klar, dass die Sylowgruppen normal in $G$ sind ($2$.ter Sylowsatz).
Nun folgere, dass $G= [mm] S\times [/mm] Q$ ist, also $G$ das direkte Produkt zyklischer Gruppen teilerfremder Ordnung. $G$ muss dann selbst zyklisch sein: versuche zu zeigen, dass $G$ von [mm] $x=\alpha\beta$ [/mm] erzeugt wird, wenn $S$ von [mm] $\alpha$ [/mm] und $Q$ von [mm] $\beta$ [/mm] erzeugt wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 06.05.2014 | | Autor: | knowhow |
weil sylowgruppen primzahlordnung besitzen folgt doch daraus das sie zyklisch sind.
und [mm] s_2 [/mm] kann nur [mm] s_2=1 [/mm] oder [mm] s_2=q [/mm] sein da [mm] s_2 [/mm] muss teiler von 2q sein.
falls [mm] s_2=1 [/mm] ist folgt das es nur eine 2-sylowgruppe ex. somit ist sie auch NT, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 06.05.2014 | | Autor: | knowhow |
ich meinte falls es nur eine p-sylowgruppe ex mit prim dann folgt daraus zyklisch, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Mi 07.05.2014 | | Autor: | hippias |
Dass sie zyklisch ist, haengt nicht mit der Anzahl Sylowgruppen zusammen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 07.05.2014 | | Autor: | hippias |
Das habe ich doch schon in der vorherigen Mitteilung geschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 08.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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