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Hallo Leute,
ich habe mich die letzten Stunden mit einem Problem beschäftigt, was eigentlich ganz einfach aussieht. Leider ist jeder Ansatz ins leere gelaufen.
Also die Aufgabe lautet:
$ A [mm] \in\IR^{3x3} [/mm] $ sei eine symmetrische Matrix (also $ A = [mm] A^t [/mm] $).
Man zeige: $ [mm] A^5 [/mm] = [mm] E_3 \gdw [/mm] A = [mm] E_3 [/mm] $ ( mit $ [mm] E_3 \in\IR^{3x3} [/mm] $ ist die Einheitsmatrix gemeint)
Nun ja ich weiß, dass A diagonalisierbar ist, dass det(A) = 1, dass $ [mm] A^4 [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] $ und dass $ [mm] A^2 [/mm] * A * [mm] A^2 [/mm] = [mm] E_3 [/mm] $. Aber Daraus kann ich nicht wirklich schlussfolgern das $ A = [mm] E_3 [/mm] $ ist, dass sind ja alles nur Hinweise, aber keine bringt mir wirklich die Hinrichtung. Die Rückrichtung ist ja trivial. Über die charakteristischen Polynome hatte ich auch kein Glück.
Ich hoffe jemand von euch hat eine bessere Idee als ich.
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:10 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frank,
ach, schön, noch eine Aufgabe vor dem Schlafengehen 
> ich habe mich die letzten Stunden mit einem Problem
> beschäftigt, was eigentlich ganz einfach aussieht. Leider
> ist jeder Ansatz ins leere gelaufen.
>
> Also die Aufgabe lautet:
>
> [mm]A \in\IR^{3x3}[/mm] sei eine symmetrische Matrix (also [mm]A = A^t [/mm]).
>
> Man zeige: [mm]A^5 = E_3 \gdw A = E_3[/mm] ( mit [mm]E_3 \in\IR^{3x3}[/mm]
> ist die Einheitsmatrix gemeint)
>
> Nun ja ich weiß, dass A diagonalisierbar ist, dass det(A) =
Wenn A diagonalisierbar ist, dann gibt es doch eine Matrix [mm] $T\in\IR^{3\times3}$, [/mm] so dass [mm] $T*A*T^{-1}=D$, [/mm] wobei [mm] $D\in\IR^{3\times3}$ [/mm] die Diagonalmatrix ist.
Nun berechne mal [mm] $A^5$ [/mm] und stelle die Behauptung mit diesem Ergebnis für [mm] $A^5$ [/mm] auf...
Noch ein Tipp: [mm] $A=T^{-1}*D*T$ [/mm] und [mm] $A^2=\left(T^{-1}*D*T\right)^2=T^{-1}*D*T*T^{-1}*D*T=T^{-1}*D^2*T$; $A^5=\ldots$
[/mm]
Viel Spaß,
Marc
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Ja leider wollte ich doch ein wenig ehr einschlafen!!!
Na ja aber erst mal Danke für den Hinweis, muss aber jetzt los hab noch Vorlesung. Ich werde mich gleich nachher wieder dran versuchen.
Vielen Dank noch mal
Frank
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
OK ich hab mir jetzt das Problem noch mal mit deinem Hinweis angeschaut. Und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
Da A diagonalisierbar ist, gibt es ja wie du schon gesagt hast ein $ T \in Gl(3,\IR) $ so das gilt:
$ A = T^{-1} * D * T $ mit D als Diagonalmatrix.
Nun nach deinem Hinweis, kann man folgendes zeigen:
$ A^5 = T^{-1} * D^5 * T $
nun erhalte ich mit der Voraussetzung:
$ E_3 = A^5 = T^{-1} * D^5 * T $
Das heißt ja $ D^5 $ ist zur Einheitsmatrix ähnlich. Da aber trivialer weise die Einheitsmatrix nur ähnlich zu sich selbst ist folgt:
$ D^5 = E_3 $
und somit:
$ D^5 = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \\ \end{pmatrix}^5 $
$ = \begin{pmatrix} a^5 & 0 & 0 \\ 0 & b^5 & 0 \\ 0 & 0 & c^5 \\ \end {pmatrix} $
$ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end {pmatrix} = E_3 $
Also:
$ D = E_3 $
Nun ist aber auch: $ A = T^{-1} * D * T^1 = T^{-1} * E_3 * T^1 $
Also können folgern:
$ A = E_3 $
Und damit sind wir dann fertig. Ist das so richtig? Habe ich also die Angabe, dass A symmetrisch ist, nur gebraucht um zu wissen, dass A diagonalisierbar ist?
Frank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Monster-Modul,
> OK ich hab mir jetzt das Problem noch mal mit deinem
> Hinweis angeschaut. Und bin zu folgendem Ergebnis
> gekommen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dein Beweis ist komplett richtig.
Allerdings vermisse ich an einigen Stellen noch eine formale "Klarheit", z.B. die Trennung von Behauptung, Voraussetzung und den eigentlichen Beweisschritten.
> Da A diagonalisierbar ist, gibt es ja wie du schon gesagt
> hast ein [mm]T \in Gl(3,\IR)[/mm] so das gilt:
>
> [mm]A = T^{-1} * D * T[/mm] mit D als Diagonalmatrix.
>
> Nun nach deinem Hinweis, kann man folgendes zeigen:
>
> [mm]A^5 = T^{-1} * D^5 * T[/mm]
> nun erhalte ich mit der Voraussetzung:
>
> [mm]E_3 = A^5 = T^{-1} * D^5 * T[/mm]
Hier haben wir so eine Stelle: Links steht die Voraussetzung, rechts ein Teil des Beweises.
> Das heißt ja [mm]D^5[/mm] ist zur Einheitsmatrix ähnlich. Da aber
> trivialer weise die Einheitsmatrix nur ähnlich zu sich
> selbst ist folgt:
>
> [mm]D^5 = E_3[/mm]
Das würde ich präziser formulieren (ist dann sogar etwas kürzer ): [mm] $E_3=T^{-1} [/mm] * [mm] D^5 [/mm] * T\ [mm] \gdw\ T*E_3*T^{-1}=D^5\ \gdw\ E_3*T*T^{-1}=D^5\ \gdw\ E_3=D^5$
[/mm]
> und somit:
>
> [mm]D^5 = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \\ \end{pmatrix}^5[/mm]
>
> [mm]= \begin{pmatrix} a^5 & 0 & 0 \\ 0 & b^5 & 0 \\ 0 & 0 & c^5 \\ \end {pmatrix}[/mm]
>
> [mm]= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end {pmatrix} = E_3[/mm]
>
>
> Also:
>
> [mm]D = E_3[/mm]
>
> Nun ist aber auch: [mm]A = T^{-1} * D * T^1 = T^{-1} * E_3 * T^1[/mm]
>
>
> Also können folgern:
>
> [mm]A = E_3[/mm]
>
> Und damit sind wir dann fertig. Ist das so richtig?
> Habe
> ich also die Angabe, dass A symmetrisch ist, nur gebraucht
> um zu wissen, dass A diagonalisierbar ist?
Ja, das sehe ich auch so.
Ich schreibe es nochmal so auf, wie ich es formal besser und nachvollziehbarer finde; das soll keine Korrektur sein, sondern nur ein Beispiel.
Vor.: [mm] $A=A^t, A^5=E_3$
[/mm]
Beh.: [mm] $A=E_3$
[/mm]
Bew.: A symmetrisch [mm] \Rightarrow [/mm] A diagonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert [mm] $D,T\in\IR^{3\times 3}$ [/mm] so dass [mm] $T*A*T^{-1}=D$ $\Rightarrow$ $A=T^{-1}*D*T$
[/mm]
Also haben wir:
[mm] $A^5=E_3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\left(T^{-1}*D*T\right)^5=E_3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $T^{-1}*D^5*T=E_3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $D^5=T*E_3*T^{-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $D^5=E_3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $d_{ii}^5=1$ [/mm] $i=1,2,3$
[mm] $\gdw$ $d_{ii}=1$ [/mm] $i=1,2,3$
[mm] $\gdw$ $D=E_3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $T*A*T^{-1}=E_3$ ($D=T*A*T^{-1}$)
[/mm]
[mm] $\gdw$ $A=T^{-1}*E_3*T$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $A=E_3$ $\Box$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Erst mal vielen Dank Marc,
ich habe den Beweis auch noch nicht ausformuliert. Das waren eigentlich nur meine Gedanken während einer langweiligen Vorlesung. Und da ich dann gleich noch im Pool war, habe ich sie erst mal hinein gesetzt, um zu schauen ob es in die richtige Richtung geht.
Na auf jeden Fall noch mal vielen Dank für deine Hilfe.
Frank
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