symm. matrix beweis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 29.11.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die Menge S aller symmetrischen Matrizen ein Untervektorraum von [mm] R^{n×n} [/mm] ist,
und geben Sie eine Basis von S an.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge T aller schiefsymmetrischen Matrizen ein Untervektorraum von [mm] R^{n×n}
[/mm]
ist, und geben Sie eine Basis von T an. |
Hallo!
Zu den Definitionen:
EIne Matrix A mit [mm] A^{T} [/mm] = A bzw. [mm] A^{T}=-A [/mm] heißt symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch.
Wenn b1,b2, ...bn Elemente in einem k-Vektorraum V unabhängig sind und V aufspannen, dann nennt man Sie die Basis von V.
Ich hab nun leider keine AHnung, wie ich bspw. a beweisen soll,
was ich weiss ist, dass
man die jeweilige symmetrische Matrix, mit einem Faktor multiplizieren kann und sie bleibt symmetrisch.
Ebenso wenn ich 2 symmetrische habe, und dann rechne BA+AB ist das ergebnis symmetrisch.
Für die Bedingung eines Untervetorraumes gelten doch die UNtervektorraumaxiome, muss ich nun zeigen, dass diese für symmetrische matrizen erfällt sind?
Danke für die tips,
hilfreich wäre auch,ein tip wie ich denn dann diese Basis bestimme
danke gruß
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> a) Zeigen Sie, dass die Menge S aller symmetrischen
> Matrizen ein Untervektorraum von [mm]R^{n×n}[/mm] ist,
> und geben Sie eine Basis von S an.
>
> (b) Zeigen Sie, dass die Menge T aller schiefsymmetrischen
> Matrizen ein Untervektorraum von [mm]R^{n×n}[/mm]
> ist, und geben Sie eine Basis von T an.
> Hallo!
>
> Zu den Definitionen:
> EIne Matrix A mit [mm]A^{T}[/mm] = A bzw. [mm]A^{T}=-A[/mm] heißt
> symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch.
>
> Wenn b1,b2, ...bn Elemente in einem k-Vektorraum V
> unabhängig sind und V aufspannen, dann nennt man Sie die
> Basis von V.
>
> Ich hab nun leider keine AHnung, wie ich bspw. a beweisen
> soll,
>
> was ich weiss ist, dass
> man die jeweilige symmetrische Matrix, mit einem Faktor
> multiplizieren kann und sie bleibt symmetrisch.
Gut !
> Ebenso wenn ich 2 symmetrische habe, und dann rechne BA+AB
> ist das ergebnis symmetrisch.
nein ! Du mußt zeigen, dass die Summe zweier sym. Matrizen wieder symmetrisch ist
>
> Für die Bedingung eines Untervetorraumes gelten doch die
> UNtervektorraumaxiome, muss ich nun zeigen, dass diese für
> symmetrische matrizen erfällt sind?
Ja, 2 Forderungen hast Du oben schon behandelt
Was fehlt noch ?
FRED
>
>
> Danke für die tips,
> hilfreich wäre auch,ein tip wie ich denn dann diese Basis
> bestimme
>
> danke gruß
> katja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 30.11.2009 | | Autor: | katjap |
hm leider weiss ich nciht, was noch fehlt,
fuer den untervektorraum, muss doch dann noch die kriterien fuer den untervektrorraum gelten?
noch was?
wie sieht das dann im schiefsymmetrischen aus?
danke für die hilfe,
katja
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> hm leider weiss ich nciht, was noch fehlt,
Hallo,
für "Unterraum" muß man doch immer dreierlei zeigen:
1. Die Menge ist nichtleer
2. Die Summe zweier Vektoren liegt drin
3. Das Produkt eines Skalars mit einem Vektor liegt drin.
Was fehlt also?
> fuer den untervektorraum, muss doch dann noch die kriterien
> fuer den untervektrorraum gelten?
Wieso "noch"?
Was meinst Du?
> wie sieht das dann im schiefsymmetrischen aus?
Da mußt Du ebenfalls die drei Kriterien zeigen.
Um herauszufinden, wie die Basen aussehen, schreib Dir mal eine allgemeine symmetrische nxn-Matrix hin und überlege Dir, aus welchen matrizen Du sie mit Linearkombination erzeugen könntest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 06.12.2010 | | Autor: | sqrt25 |
Zu (a) ganz allgemein könnte man ja schreiben:
Basis der Menge aller symmetrischen Matrizen:
[mm] A_{kl}=(a_{ij})=a_{kl}=a_{lk}=1 [/mm] und [mm] a_{ij}=0 [/mm] sonst für [mm] 1\le [/mm] k < [mm] l\le [/mm] n
und [mm] A_k=(a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{kk}=1 [/mm] und [mm] a_{ij}=0 [/mm] sonst
Die Frage ist nur, wie beweist man, dass das eine Basis für alle n element [mm] \IN [/mm] ist.
zz. ist dann:
(1)Alle Basiselemente sind linear unabhängig
(2)Mit den Basiselementen lässt sich jedes Element aus S darstellen.
Vielen Dank im Voraus =)
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> Zu (a) ganz allgemein könnte man ja schreiben:
> Basis der Menge aller symmetrischen Matrizen:
> [mm]A_{kl}=(a_{ij})=a_{kl}=a_{lk}=1[/mm] und [mm]a_{ij}=0[/mm] sonst für
> [mm]1\le[/mm] k < [mm]l\le[/mm] n
Das ist nicht schön aufgeschrieben, aber ich weiß natürlich, was Du meinst.
> und [mm]A_k=(a_{ij})[/mm] mit [mm]a_{kk}=1[/mm] und [mm]a_{ij}=0[/mm] sonst
>
> Die Frage ist nur, wie beweist man, dass das eine Basis
> für alle n element [mm]\IN[/mm] ist.
> zz. ist dann:
> (1)Alle Basiselemente sind linear unabhängig
> (2)Mit den Basiselementen lässt sich jedes Element aus S
> darstellen.
Hallo,
ja, genau.
Für (1) rechnest Du vor, daß nur die triviale Linearkombination Deiner Basismatrizen (wie viele sind es eigentlich?) Die Nullmatrix ergibt.
Für (2) nimmst Du eine Matrix [mm] B:=(b_i_k)\in [/mm] S.
Weil sie symmetrisch ist, ist [mm] b_i_k=b_k_i [/mm] für alle i,k.
Nun machst Du vor, mit welcher Linearkombination Deiner Basismatrizen Du diese Matrix erzeugen kannst.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank im Voraus =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Di 07.12.2010 | | Autor: | sqrt25 |
> ja, genau.
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> Für (1) rechnest Du vor, daß nur die triviale
> Linearkombination Deiner Basismatrizen (wie viele sind es
> eigentlich?) Die Nullmatrix ergibt.
>
Es sind [mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm] k = (n+1)n/2 Matrizen. Wie ich das mathematisch sauber beweisen soll, ist mir auch nicht ganz klar (ich meine nicht, dass [mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm] k = (n+1)n/2 gilt, das beweist man mit vollständiger Induktion, aber weshalb die Anzahl der Matrizen überhaupt [mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm] k sein muss.) Für einen Tipp in der Hinsicht wäre ich auch sehr dankbar (ich hatte über einen induktiven Beweis nachgedacht: Zuerst zeigen, dass für eine 3x3 symmetrische Matrix die Formel gilt und dann in ein paar Sätzen erläutern, warum dann auch die Anzahl der Basiselemente einer n+1 x n+1 Matrix nach der Formel bestimmt werden können.).
> Für (2) nimmst Du eine Matrix [mm]B:=(b_i_k)\in[/mm] S.
> Weil sie symmetrisch ist, ist [mm]b_i_k=b_k_i[/mm] für alle i,k.
>
> Nun machst Du vor, mit welcher Linearkombination Deiner
> Basismatrizen Du diese Matrix erzeugen kannst.
Das Prinzip, wie ich zeige, dass sich jedes Element aus S mit der Basis darstellen lässt, ist mir klar. Für den Fall n= 3 oÄ ist das auch einfach, doch wie zeige ich das für ein beliebiges n? Jede Basismatrize kann ich dann schließlich nicht aufschreiben.
> Gruß v. Angela
> >
> > Vielen Dank im Voraus =)
> >
Vielen Dank schon mal =)
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> > ja, genau.
> >
> > Für (1) rechnest Du vor, daß nur die triviale
> > Linearkombination Deiner Basismatrizen (wie viele sind es
> > eigentlich?) Die Nullmatrix ergibt.
> >
>
> Es sind [mm]\sum_{k=1}^{n}[/mm] k = (n+1)n/2 Matrizen.
Hallo,
genau, man kann sie ja einfach abzählen.
Es waren ja die von Dir definierten Matrizen [mm] A_i_k [/mm] mit [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le k\le [/mm] n. Für i=1 sind das n Matrizen, für i=2 n-1, usw.
> > Für (2) nimmst Du eine Matrix [mm]B:=(b_i_k)\in[/mm] S.
> > Weil sie symmetrisch ist, ist [mm]b_i_k=b_k_i[/mm] für alle
> i,k.
> >
> > Nun machst Du vor, mit welcher Linearkombination Deiner
> > Basismatrizen Du diese Matrix erzeugen kannst.
>
> Das Prinzip, wie ich zeige, dass sich jedes Element aus S
> mit der Basis darstellen lässt, ist mir klar. Für den
> Fall n= 3 oÄ ist das auch einfach, doch wie zeige ich das
> für ein beliebiges n? Jede Basismatrize kann ich dann
> schließlich nicht aufschreiben.
Oh nein! Sag' nie wieder "Matrize". Das heißt "Matrix". 'ne Matrize ist was anderes.
Du rechnest halt vor, daß für [mm] B:=(b_i_k) [/mm] mir [mm] b_i_k=b_k_i [/mm] gilt
[mm] B=\summe_{i=1}^{n}\summe{k=i}^{n}b_i_kA_i_k[/mm] [mm]=\begin{cases}... , & \mbox{fuer } i=k\\
..., & \mbox{fuer } i
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sqrt25 |
> Oh nein! Sag' nie wieder "Matrize". Das heißt "Matrix".
> 'ne Matrize ist was anderes.
>
Versprochen!
> Du rechnest halt vor, daß für [mm]B:=(b_i_k)[/mm] mir [mm]b_i_k=b_k_i[/mm]
> gilt
>
> [mm]B=\summe_{i=1}^{n}\summe{k=i}^{n}b_i_kA_i_k[/mm]
> [mm]=\begin{cases}... , & \mbox{fuer } i=k\\
..., & \mbox{fuer } i
Danke, damit kann ich arbeiten =)
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