symmetrisch / positiv definit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 21.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Wenn A und B symmetrisch und positiv definit, dann ist auch A + B symmetrisch und positiv definit. Warum? |
Hallo,
A und B sind symmetrisch somit gilt schon mal
A = [mm] A^T [/mm] und B = [mm] B^T
[/mm]
Zudem ist A und B positiv definit, also gilt [mm] x^T [/mm] A x > 0 und [mm] x^T [/mm] B x > 0
Die Addition A+B ändert nichts an den Verhältnissen, damit sind die Elemente oberhalb und unterhalb der Diagonalen weiterhin gleich und somit ist auch A+B symmetrisch.
Kann man dies mathematischer ausdrücken?
Für positiv definit:
[mm] x^T [/mm] A x + [mm] x^T [/mm] B x > 0 | [mm] \cdot{} [/mm] x
[mm] x^T [/mm] x A x + [mm] x^T [/mm] x B x > 0
A x + B x > 0
A + B > 0
Könnte man dies so irgendwie zeigen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Mo 21.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Also die positive Definitheit zeigst du ganz einfach mit der Definition:
[mm] x^T(A+B)x=x^TAx+x^TBx>0, [/mm] weil ja $x^TAx$ und $y^TBx>0$ ist.
Mehr ist das eigentlich nicht. Warum du das ganze nochmal mit x multiplizierst und dann x^Tx=1 setzt versteh ich leider absolut nicht.
Symmetrie auch wieder mit Definition.
Zeige, dass [mm] (A+B)^T=A+B [/mm] ist.
Das ist ebenfalls nicht schwer, weil
[mm] (A+B)^T=A^T+B^T=A+B
[/mm]
Hier würde ich vielleicht noch zeigen, dass [mm] (A+B)^T=A^T+B^T [/mm] gilt.
Das zeigst du aber ganz leicht komponentenweise.
Oder vielleicht habt ihr das schon in der Vorlesung gemacht.> Wenn A und B symmetrisch und positiv definit, dann ist auch
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