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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 03.01.2010 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | | Man zeige, dass durch [mm] =\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] eine symmetrische Bilinearform auf dem [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der stetigen Funktionen [0, 1] [mm] \to \IR [/mm] definiert wird. |
Hallo,
weiß zufällig jemand wie man an die Sache rangeht? Ich mein für sym. Bilinearf. gilt ja <f,g>=<g,f> und da ja [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}=\integral_{0}^{1}{g(x)f(x) dx} [/mm] ist das ja schon die Lösung, aber irgendwie sieht mir das viel zu einfach und somit falsch aus.
Wäre für Anregungen dankbar.
Gruß Fawkes
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Hallo Fawkes,
> Man zeige, dass durch [mm]=\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
> eine symmetrische Bilinearform auf dem [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der
> stetigen Funktionen [0, 1] [mm]\to \IR[/mm] definiert wird.
> Hallo,
> weiß zufällig jemand wie man an die Sache rangeht? Ich
> mein für sym. Bilinearf. gilt ja <f,g>=<g,f> und da ja
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}=\integral_{0}^{1}{g(x)f(x) dx}[/mm]
> ist das ja schon die Lösung, aber irgendwie sieht mir das
> viel zu einfach und somit falsch aus.
> Wäre für Anregungen dankbar.
Du hast recht, es ist in der Tat ziemlich einfach, du musst lediglich die Additivität des Integrals und die Tatsache, dass du Konstante Faktoren rausziehen kannst, ausnutzen.
Die Symmetrie ist klar, das hast du oben gemacht. Vllt. etwas genauer ist die Rückführung auf die Kommutatvität in [mm] $\IR$
[/mm]
Es ist für alle [mm] $x\in\IR [/mm] \ \ \ [mm] (f\cdot{}g)(x)=f(x)\cdot{}g(x)\red{=}g(x)\cdot{}f(x)=(g\cdot{}f)(x)$ [/mm] und dammit die Symmetrie oben.
Bleibt die Bilinearität nachzuweisen:
ich nenne im weiteren den VR der stetigen Fkten auf $[0,1]$ einfach $V$
zeige
1) [mm] $=+$ [/mm] für alle [mm] $f_1,f_2,g\in [/mm] V$
2) [mm] $=+$ [/mm] für alle [mm] $f,g_1,g_2\in [/mm] V$
3) [mm] $\lambda\cdot{}=<\lambda\cdot{}f,g>=$ [/mm] für alle [mm] $\lambda\in\IR, f,g\in [/mm] V$
wobei sich 2) aus der Symmetrie aus 1) ergibt.
Mal zu 1) Betrachte [mm] $=\int\limits_{0}^1{(f_1+f_2)(x)\cdot{}g(x) \ dx}=\int\limits_{0}^1{\left(f_1(x)+f_2(x)\right)\cdot{}g(x) \ dx}=\int\limits_{0}^1{(f_1(x)\cdot{}g(x)+f_2(x)\cdot{}g(x)) \ dx}=\int\limits_{0}^1{f_1(x)g(x) \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{0}^1{f_2(x)g(x) \ dx}=+$
[/mm]
> Gruß Fawkes
Gruß
schachuzipus
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