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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Di 29.12.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Für welche n [mm] \in [/mm] N existieren Erwartungswert und Varianz einer t-Verteilung mit n Freiheitsgraden?
Bestimmen Sie in diesen Fällen den Erwartungswert und die Varianz.
Hinweis: Beachten Sie die Normierung der Dichten von t-Verteilungen. |
Hallo,
nach den langen Weinachtstagen muss ich erstmal wieder rein kommen. Nichts desto trotz möchte ich mich mit dem Bonusblatt befassen, vielleicht hat einer nen Tipp als Einstiegshilfe, ich bin grad ziemlich raus.
DANKE!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Di 29.12.2009 | | Autor: | Chuck86 |
Hi,
du hast ja die Dichte [mm] g_{n}(t) [/mm] abhängig von n und t mit der Gammafunkion drin etc. Und dann hab ich mir [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{|t| g_{n}(t) dt} [/mm] angeguckt und da hatte ich dann irgendwann n-1 im Nenner stehen . Also kein E(T) für n = 1 und somit gibts den EW nur für n>2 und den dann ganz einfach berechnen. Varianz hänge ich noch etwas.
lg
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 Di 29.12.2009 | | Autor: | Peon |
Hey danke für die schnelle Antwort,
also [mm] g_n(t) [/mm] ist das [mm] g_n(t) [/mm] aus Satz 9.4? Aber davon das Integral ist schon ein bisschen mieß oder? :)
Kannst du deine Rechnung vielleicht noch ein bisschen erläutern. DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Chuck86 |
Da du nach t integrierst kannst du ja fast alles rausziehen, hast dann nur noch nen Bruch, kannst das Integral dann als 2 * [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] schreiben, und mit etwas Überlegung integrieren und dann sieht man, dass n = 1 nicht passt da es im Nenner steht.
Vorausgesetzt ich hab nichts übersehen
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:30 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Peon |
Hey,
danke für den Tipp, bin aus der Übung... :)
Meinst du man kan [mm] 2*\integral_{0}^{\infty} [/mm] schreiben, weil im Zähler |t| steht?
Also ich bekomme da als Integral heraus:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n\pi}}\bruch{\Gamma(\bruch{n+1}{2})}{\Gamma(\bruch{n}{2})}2\bruch{n}{(1-n)(\bruch{n+t^2}{n})^{\bruch{n-1}{2}}} [/mm] ind den Grenzen 0 bis [mm] \infty
[/mm]
Ist das richtig?
Kommt dann als E(T)=0 raus, weil man ja dann das Integral von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] rechnet, oder?
Wieso hast du am Anfang |t| genommen?
Danke
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:19 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Peon |
Steht bei der Berechnung der Varianz dann im Zähler [mm] t^2? [/mm] Falls ja, davon das Integral kommt irgendwie nur Mist raus, ich hab das mal mit nem Online Rechner versucht, aber der gibt mir nur ne Lösung mit der "hypergeometrischen FKT." oder so an...?
Kannst du vielleicht mal schreiben, was du raus bekommen hast?
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 10.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Wieso hast du am Anfang |t| genommen?
Antwort:
Weil man zu prüfen hat, ob
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{|t|\cdot g_{n}(t)\, dt} <\infty [/mm] $. Nur dann
ist der Erwartungswert von T, also $E(T)= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{t\cdot g_{n}(t)\, dt}$, [/mm] erst definiert (siehe Def. Erwartungswert).
Gruss
FrankNStein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Di 05.01.2010 | | Autor: | Peon |
JO danke, habe ich letztens auch im Skript wiedergefunden ;) Hast du vielleicht noch ein paar Hinweise zu dem Rest (Varianz)?
Danke
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> ;) Hast du vielleicht noch ein paar Hinweise zu dem Rest
> (Varianz)?
Hallo,
also wenn Du mal z.B. bei Wikipedia unter "Studentsche t-Verteilung" nachschaust, dann steht da, dass für die hier vorliegende Verteilung gilt:
Die Varianz von $T$ ergibt sich für $n>2$ zu: [mm] $Var(T)=\frac{n}{n-2}$. [/mm]
Dazu muss man aber erst mal zeigen, dass [mm] $E(X^2)<\infty$ [/mm] ist.
Gruss
FrankNStein
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:45 Di 05.01.2010 | | Autor: | Peon |
Hey,
ja das habe ich auch gesehen :) und genau das war auch das Problem, ich konnte das nicht zeigen, also dass das Int < [mm] \infty [/mm] ist, weil ich bei der Berechnung des Integrals:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{t^2}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n+1}{2}}}dt}
[/mm]
auf keinen grünen Zweig gekommen bin :(
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Hallo,
> ja das habe ich auch gesehen :) und genau das war auch das
> Problem, ich konnte das nicht zeigen, also dass das Int <
> [mm]\infty[/mm] ist, weil ich bei der Berechnung des Integrals:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{t^2}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n+1}{2}}}dt}[/mm]
> auf keinen grünen Zweig gekommen bin :(
Also es geht zunächst mal mit partieller Integration los. Ich definiere mal
$c:= [mm] \bruch{1}{\wurzel{n\pi}}\bruch{\Gamma(\bruch{n+1}{2})}{\Gamma(\bruch{n}{2})} [/mm] $
Dann hat man [mm] $E(T^2)=c\cdot \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{t^2}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n+1}{2}}}dt}=2c\cdot \integral_{0}^{\infty}{\bruch{t^2}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n+1}{2}}}dt}=c\cdot \integral_{0}^{\infty}{t\cdot \bruch{2t}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n+1}{2}}}dt}$.
[/mm]
Jetzt setzt man
[mm] $u':=\bruch{2t}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n+1}{2}}}$ [/mm] und $v:=t$, mit [mm] $u=\ldots$ [/mm] und $v'=1$. Damit macht man nun partielle Integration.
Gruss
FrankNStein
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:22 So 10.01.2010 | | Autor: | Peon |
HI,
ich komme dann auf:
[mm] 2*c*([\bruch{n*t}{1-n}*\bruch{1}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n-1}{2}}}]^{\infty}_0-(\bruch{n}{1-n})*[\bruch{2*t}{(1+\bruch{t^2}{n})^{\bruch{n+1}{2}}}]^{\infty}_0
[/mm]
Jetzt hab ich das Probelm, dass da was mit [mm] \infy*0 [/mm] oder [mm] 0*\infty [/mm] und sowas steht, wenn ich die Grenzen einsetze?!
Hab ich da einen Fehler beim integrieren gemacht?
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 10.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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