tangentengleichung bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben ist die funktion f mit graphen k durch
f(x)= -1/2 [mm] xx^{2}+3x-3
[/mm]
bestimmen sie eine gleichung der tangente durch den punkt P(1/4) |
hallo zusammen,
also die tangentengleichung lautet doch:
t : y= [mm] f'(x_{0}) [/mm] * [mm] (x-x_{0}) [/mm] + [mm] f(x_{0})
[/mm]
so jetzt hab ich folgendes gerechnet:
f'(x) = -x+3
f'(1) = -1+3 =2
dann hab ich alles eingesetzt in die gleichung:
y= 2*(x-1)+4
= 2x-2+4
= 2x+2 ---> also ist die tangentengleichung: y=2x+2
aber irgendwie haben die hier im buch eine andere lösung raus...
hab ich irgendwo einen rechenfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Sa 07.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
[mm] -\bruch{1}{2}xx^{2}+3x-3 [/mm] soll sicher
[mm] -\bruch{1}{2}x^{2}+3x-3 [/mm] bedeuten? Angenommen, es lauete so. Dann kannst du wie folgt voegehen:
Eine Tangente ist eine Gerade und die allgemeine Geradengleichung lautet:
y=m*x+b.
m ist die Steigung und kann mittels Ableitung, also f'(x) berechnet werden:
[mm] f(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+3x-3
[/mm]
f'(x)=-x+3 Nun setzen wir das x=1 ein, da Tangente durch P(1|4) gehen soll:
f'(1)=-1+3=2 (das ist die gesuchte Steigung in P(1|4) )
y=2*x+b. Fehlt also nur noch das b, das wir mit Hilfe von P(1|4) bestimmen: Die Tangente muss ja durch den Punkt P gehen, so können wir den Punkt in
y=2*x+b
einsetzen und nach b umstellen:
4=2*1+b ; b ist also 2.
Die Tangentengleichung beträgt demnach:
y=2x+2. Das hast du auch raus. Hast du die Funktion eventuell falsch abgeschrieben. Weil ich kann keine Fehler entdecken. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Was steht denn im Buch?
MfG
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hallo
danke für die schnelle lösung...freut mich dass ich das doch richtig habe...
also im buch ist das irgendwie total kompliziert erklärt...
aber ich hab mal generell eine frage zur bestimmung der tangentengleichung.
ich hab mir gedacht dass man mit der tangentengleichung:
t: y= f' [mm] (x_{0})* (x-x_{´0}) [/mm] * [mm] f(x_{2})
[/mm]
alle tangentengleichungen heraus bekommt
also auch wenn es bspw heißt
- bestimme die tangentengleichung mit dem brührpunkt B(2/1)
-die tangentengleichung mit steigung m=1/2 etc.
ich wollt mir dann diese gleichung einprägen, damit ich immer auf den gleichen weg zur lösung komme bei den aufgaben dazu...
ist das eine gute idee oder ist das evtl. zu umständlich??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
meine Meinung zu dem Thema:
Gleichungen einprägen bringt nichts...spätestens nach 1 Monat, wo du die Gleichung nicht benutzt hast, ist sie wieder raus aus dem Hirn.
Du musst dir das Prinzip merken, mit welchem du die Tangenten bestimmen kannst.
So mach ich das z.B. auch...Les ich eine Aufgabe, so erkenne ich das Prinzip, mit dem ich das Lösen kann, und der Rest ist dann nur noch Routine (also einfach Rechnen und Ableiten können etc ohne Fehler).
Soweit ich mich erinnern kann, gibt es da sowieso nur zwei bis drei Aufgabentypen:
Einmal so etwas wie
Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von f, mit dem Punkt P(x;y), der außerhalb liegt. (sowas wie deine Aufgabe hier).
Dann so etwas wie
Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von f, der durch den Punkt P(x;f(x)) geht (also liegt der Punkt auf dem Graphen).
Und dann so etwas wie
Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von f, die die Steigung m bestitzt.
Viel mehr Aufgabentypen gib es da eigentlich nicht.
Und dann gilt es hier nur, das Konzept einmal verstanden zu haben, und es dann immer wieder anzuwenden.
Viele Grüße,
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier ist weder Funktion noch der Punkt falsch.
Es ist einfach so, dass der Punkt P, durch den die Tangente gehen soll, außerhalb von f liegt.
Auch eine Solche Aufgabe kann man lösen.
Hier gibt es nun zwei Tangenten, einmal
y1=-x+5
und
y2=5x-1
Euer Fehler liegt darin, indem ihr angenommen habt, der Punkt P liege auf dem Graphen von f, und somit habe die Tangente die Steigung f'(1).
Dem ist aber nicht so.
Mach dir am besten einfach mal eine Zeichnung mit der Parabel und den Tangenten durch den Punkt P, und überlege, wie man dann an die Steigung herankommt.
Dafür gibt es einen ziemlich einfachen Weg, indem man einmal darüber nachdenkt, wie man die Steigung der Tangente mit Hilfe der Zwei-Punkte-Form bestimmen kann und einmal, wie man diese Steigung mit Hilfe der ersten Ableitung von f ausdrücken kann.
Liebe Grüße,
Kroni
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hallo nochmal,
ja dieses ergebnis kroni steht auch im buch...:(
also kann ich doch nicht immer die gleiche gleichung (s.o.) benutzen oder?
hab mir eine skizze gemacht ...
man kann doch die steigung durch f'(x) = m bestimmen oder`?
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Hi mathfreak,
was meinst du mit "...kann nicht immer die gleiche Gleichung benutzen"?
Die allg. Tangentengleichung?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ein Ansatz, der m.E. der leichteste ist, ist dieser:
[mm] B(x_{b};f(x_{b})) [/mm] sei der Berührpunkt der Tangente an den Graphen von f.
Nun hat die Tangente im Berührpunkt sicherlich die Steigung [mm] f'(x_{b}).
[/mm]
Wenn du dir dann noch die Skizze ansiehst, dann erkennst du auch, dass du die Steigung der Tangente durch das Steigungsdreieck bestimmen kannst.
Hierfür gilt:
[mm] m=\bruch{4-f(x_{b})}{1-x_{b}} [/mm] (die 4 und die 1 kommen von deinem Punkt P(1;4), durch den die Tangente gehen soll, und [mm] x_{b} [/mm] und [mm] f(x_{b}) [/mm] sind die Koordinaten des Berührpunktes!)
Da die beiden Steigungen ja identisch sein müssen, gilt
[mm] m=f'(x_{b}) [/mm] <=> [mm] \bruch{4-f(x_{b})}{1-x_{b}} [/mm] = [mm] f'(x_{b})
[/mm]
Jetzt hast du eine Gleichung mit der unbekannten [mm] x_{b}, [/mm] welche für den X-Wert des Berührpunktes steht.
Jetzt kannst du nach [mm] x_{b} [/mm] auflösen, und du hast dann den besagten x-Wert.
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Jetzt nur speziell zur Formel:
Diese eine Formel zu merken, finde ich nicht sonderlich gut, denn sie ist zugeschnitten darauf, daß man eine Tangente an eine Funktion in einem bestimmten Punkt (x|y) bestimmen soll.
Merke dir lieber y=mx+b, das ist die allgemeine Formel für eine Grade. m ist die Steigung, die kann aus verschiedenen "Quellen" kommen. Sie kann gegeben sein, durch eine Ableitung berechenbar sein, oder eben aus dem Steigungsdreieck zwischen zwei gegebenen Punkten.
Und dann ist normalerweise mindestens ein Punkt gegeben Setze m sowie den Punkt in diese Gleichung ein, und du kannst b berechnen.
Mit der Formel kommst du weiter, denn sie ist nicht so speziell, auf die meisten Probleme anwendbar, und zudem einfachr zu merken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Sa 07.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du hast entweder die Funktion oder den Punkt P falsch abgeschrieben.
Die Parabell geht nicht durch P(1|4); folglich kannst du auch keine Tangente durch den Punkt legen.
MfG
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