taylorentwicklung + restglied < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion f(x) = [mm] e^{2*x}. [/mm] Geben Sie Taylorentwicklung und Restglied fuer f mit dem Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0. [/mm] Berechnen Sie e damit auf mindestens genau drei Stellen an, d.h. mit einem Fehler [mm] \le [/mm] 0,005 |
Hi,
ja also Aufgabenstellung steht ja oben, fangen wir halt mal an ;)
also fuer die Taylorentwicklung komm ich auf [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{n!}*x^{n+1}
[/mm]
Die Formel fuer das Restglied waere dann :
[mm] r_{f}(0,x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1}(\eta)}{(n+1)!}*x^{n+1} [/mm] mit [mm] \eta \in [/mm] (0,x)
meine (n+1)te Ableitung von f(x) waere dann [mm] 2^{n}*e^{2*x} [/mm] und damit waere mein Restglied
[mm] \bruch{2^{n+1}*e^{2*\eta}}{(n+1)!}*x^{n+1} [/mm] mit [mm] \eta \in [/mm] (0,x)
ist da bis jetzt alles in Ordnung ?
ich soll e berechnen, also muesste ja eigentlich [mm] e^{2*x} [/mm] = e, also x = 0,5 sein oder ?
also haette ich jetzt fuer mein Restglied:
[mm] r_{f}(0,\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1}*e^{2*\eta}}{(n+1)!}*\bruch{1}{2}^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2*\eta}}{(n+1)!} [/mm] mit [mm] \eta \in (0,\bruch{1}{2})
[/mm]
so und jetzt kommt mein eigentliches Problem: ich muss das jetzt irgendwie abschaetzen und dann nach n aufloesen und wuerde dann mein n rausbekommen, das mir sagt, bis zu welchem grad ich die funktion mit der taylorentwicklung entwickeln muss, um einen fehler [mm] \le [/mm] 0,005 zu bekommen. mein problem hier ist, dass ich das n nicht aus dem nenner, also aus der fakultaet rausbekomme. gibts da irgend einen trick, oder hab ich vorher schon einen fehler gemacht ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Di 20.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Funktion f(x) = [mm]e^{2*x}.[/mm] Geben Sie
> Taylorentwicklung und Restglied fuer f mit dem
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0.[/mm] Berechnen Sie e damit auf
> mindestens genau drei Stellen an, d.h. mit einem Fehler [mm]\le[/mm]
> 0,005
> Hi,
> ja also Aufgabenstellung steht ja oben, fangen wir halt
> mal an ;)
>
> also fuer die Taylorentwicklung komm ich auf
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{n!}*x^{n+1}[/mm]
>
> Die Formel fuer das Restglied waere dann :
>
> [mm]r_{f}(0,x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{n+1}(\eta)}{(n+1)!}*x^{n+1}[/mm] mit [mm]\eta \in[/mm]
> (0,x)
>
> meine (n+1)te Ableitung von f(x) waere dann [mm]2^{n}*e^{2*x}[/mm]
> und damit waere mein Restglied
>
> [mm]\bruch{2^{n+1}*e^{2*\eta}}{(n+1)!}*x^{n+1}[/mm] mit [mm]\eta \in[/mm]
> (0,x)
>
> ist da bis jetzt alles in Ordnung ?
>
> ich soll e berechnen, also muesste ja eigentlich [mm]e^{2*x}[/mm] =
> e, also e = 0,5 sein oder ?
>
> also haette ich jetzt fuer mein Restglied:
>
> [mm]r_{f}(0,\bruch{1}{2})[/mm] =
> [mm]\bruch{2^{n+1}*e^{2*\eta}}{(n+1)!}*\bruch{1}{2}^{n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{2*\eta}}{(n+1)!}[/mm] mit [mm]\eta \in (0,\bruch{1}{2})[/mm]
>
> so und jetzt kommt mein eigentliches Problem: ich muss
> das jetzt irgendwie abschaetzen und dann nach n aufloesen
> und wuerde dann mein n rausbekommen, das mir sagt, bis zu
> welchem grad ich die funktion mit der taylorentwicklung
> entwickeln muss, um einen fehler [mm]\le[/mm] 0,005 zu bekommen.
> mein problem hier ist, dass ich das n nicht aus dem nenner,
> also aus der fakultaet rausbekomme. gibts da irgend einen
> trick, oder hab ich vorher schon einen fehler gemacht ?
Falls alles stimmt, geht die Abschätzung leicht. Der Zähler kann maximal e sein, also bist du auf der sicheren Seite, wenn [mm] \bruch{e}{(n+1)!} <\bruch{1}{200} [/mm] ist. Da 6! bereits 720 ist, reicht (n+1)=6 schon aus.
Viele Grüße
Abakus
|
|
|
| |
|
hi,
jo danke :) dass hab ich noch gebraucht
scheint zu stimmen, ich komme mit n = 5 auf e = 2,71666... laut Taschenrechner ist es ja 7,7182 also bin ich ja in meinem genehmigten fehlerintervall.
Falls doch noch irgendwo ein fehler ist, bitte melden ;)
ciao
|
|
|
| |
|
Hi,
> hi,
> jo danke :) dass hab ich noch gebraucht
> scheint zu stimmen, ich komme mit n = 5 auf e = 2,71666...
> laut Taschenrechner ist es ja 7,7182 also bin ich ja in
> meinem genehmigten fehlerintervall.
> Falls doch noch irgendwo ein fehler ist, bitte melden ;)
>
nein, das sieht richtig aus. nur beim aufschreiben darauf achten, dass du fuer die bestimmung eines geeigneten n's nicht den konkreten wert von e benutzt, denn den gilt es ja abzuschaetzen...  reicht vermutlich auch, wenn du e dafuer grob durch 3 oder auch 10 abschaetzt.
gruss
matthias
> ciao
|
|
|
|
