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| Aufgabe | Die Beschleunigung a eines Körpers hängt vom Ort s in der Form a(s)=ω²s (ω>0 ist eine gegebene Konstante) ab.
Bestimme für die Anfangsbedingung [mm] S(t=0)=S_{0} [/mm] und v(t=o)=0
a) mittels vdv=a(s)ds erst v(s) und daraus dann s(t)
b) durch lösen der DGL (t)-ω²s(t)=o
c) die Beschl. a(t) |
Hallo,
ich stoße bei dieser Aufgabe gerade an meine Grenzen.
Ich hab in meinen Unterlagen zwar eine kurze Anleitung, aber mit der Anwendgung klappt es nicht so ganz.
Ich habe bisher:
[mm] \bruch{v²}{2}=w²\integral_{}^{}{s ds}
[/mm]
=> [mm] \bruch{v²}{2}=w²\bruch{s²}{2}+c
[/mm]
Weiteres umformen hilft mir da auch nicht weiter, da ich die Anfangsbedinungen nicht verarbeiten kann.
Als Ergebnis soll für a) [mm] v(t)=w\wurzel{s²-s_{o}²} [/mm] rauskommen aber ohne die AB kann ich das [mm] s_{0} [/mm] nicht einsetzen.
Kann mir vielleicht jmd weiterhelfen?
MfG
Nixwisserxl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Fr 30.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo NixwisserXL
> Die Beschleunigung a eines Körpers hängt vom Ort s in der
> Form a(s)=ω²s (ω>0 ist eine gegebene Konstante)
> ab.
> Bestimme für die Anfangsbedingung [mm]S(t=0)=S_{0}[/mm] und
> v(t=o)=0
> a) mittels vdv=a(s)ds erst v(s) und daraus dann s(t)
> b) durch lösen der DGL (t)-ω²s(t)=o
> c) die Beschl. a(t)
>
> Ich habe bisher:
>
> [mm]\bruch{v²}{2}=w²\integral_{}^{}{s ds}[/mm]
eigentlich hast du nicht ei Itegral ohne Grenzen sondern:
[mm] \integral_{v_0}^{v}{v dv}=w^2*\integral_{s_0}^{s}{s ds}
[/mm]
und deshalb nicht einfach ein c sondern :
> [mm]\bruch{v²}{2}=w²\bruch{s²}{2}+c[/mm]
[mm]\bruch{v²}{2}-\bruch{v_0^2}{2}=w²(\bruch{s²}{2}-\bruch{s_0^2}{2})[/mm]
und damit die gesuchte Formel.
du hättest auch die AB einsetzen können v=0 [mm] s=s_0 [/mm] ud für [mm] c=-s_0^2/2 [/mm] rausgekriegt!
jetzt musst du mit v=s'
s(t) bestimmen, dann durch Ableiten v(t) und a(t)
die Dgl [mm] s''(t)-w^2*s(t)=0 [/mm] ist ne homogene Dgl die man mit dem Ansatzt [mm] s=e^{r*t} [/mm] lösen kann. einsetzen, r bestimmen .
Gruss leduart
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Danke für die Hilfe, Leduart.
Ich habe das jetzt so gemacht:
[mm] v=w²\wurzel{s²+2C} [/mm] AB1: v(t=0)=0
> [mm] 0=w²\wurzel{s²+2C}
[/mm]
AB2: [mm] s(t=0)=s_{o}
[/mm]
> [mm] 0=w²\wurzel{s_{o}²+2C}
[/mm]
Damit [mm] c=\bruch{-s_{o}²}{2} [/mm]
[mm] v=w²\wurzel{s²-s_{o}²}
[/mm]
Was mich hier nur irritiert hat ist, dass ich bei dieser Vorgehensweise kein t in der Formel stehen habe, dass ich zu 0 setzen kann.
Daher meine Frage:
Komme ich auch mit [mm] \bruch{dv}{dt}=w²*s [/mm] ans Ziel?
Wenn ich die Formel nach [mm] dt=\bruch{1}{w²s}dv [/mm] umstelle, erhalte ich nach Integration:
[mm] t=\bruch{1}{w²s}v+c
[/mm]
nach v umgesllt: v=w²s(t-c)
Hier gehts leider nicht weiter, da ich für c=0 herauskriege und ich dann noch immer ein t in der Formel stehen habe.
Ist dieser Ansatz somit absolut falsch oder habe ich etwas übersehen?
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Entschuldigung. Der vorherige Beitrag sollte eigentlich eine Frage und keine Mitteilung werden.
Hoffe das geht jetzt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Sa 01.12.2007 | | Autor: | rainerS |
> Entschuldigung. Der vorherige Beitrag sollte eigentlich
> eine Frage und keine Mitteilung werden.
> Hoffe das geht jetzt.
Kein Problem, ich habe einen Frageartikel daraus gemacht.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 01.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Hilfe, Leduart.
>
> Ich habe das jetzt so gemacht:
> [mm]v=w²\wurzel{s²+2C}[/mm] AB1: v(t=0)=0
> > [mm]0=w²\wurzel{s²+2C}[/mm]
>
> AB2: [mm]s(t=0)=s_{o}[/mm]
> > [mm]0=w²\wurzel{s_{o}²+2C}[/mm]
>
> Damit [mm]c=\bruch{-s_{o}²}{2}[/mm]
>
> [mm]v=w²\wurzel{s²-s_{o}²}[/mm]
> Was mich hier nur irritiert hat ist, dass ich bei dieser
> Vorgehensweise kein t in der Formel stehen habe, dass ich
> zu 0 setzen kann.
Oh doch, du hast doch v(t=0)=0 und [mm]s(t=0)=s_{0}[/mm]. Da hast du t=0 eingesetzt.
In dieser Aufgabe wird die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg betrachtet. Du malst dir also zu jeder Stelle die zugehörige Geschwindigkeit auf: ein Geschwindigkeits-Weg-Diagramm statt des Weg-Zeit-Diagramms.
> Daher meine Frage:
>
> Komme ich auch mit [mm]\bruch{dv}{dt}=w²*s[/mm] ans Ziel?
Die Formel ist grundsätzlich richtig. Nur hilft sie dir nicht, weil du die Abhängigkeit s(t) noch nicht kennst.
> Wenn ich die Formel nach [mm]dt=\bruch{1}{w²s}dv[/mm] umstelle,
> erhalte ich nach Integration:
>
> [mm]t=\bruch{1}{w²s}v+c[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Deine Größen s und v sind nicht unabhängig voneinander, daher darfst du s nicht als Konstante betrachten. V
Viele Grüße
Rainer
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Danke reinerS,
ich glaube jetzt hab ich es verstanden.
MfG
Nixwisserxl
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