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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Stefan |
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Version von 14:22:53, als Gast gepostet:
Lieber Andreas!
Ich wollte dir ja noch die Rekursionsformel für die Hermite-Polynome nennen. Eventuell war das ja ein Ziel der Aufgabe, diese auch mit herzuleiten. Das war zumindestens mir ja nicht ganz klar. Denn ansonsten weiß ich nicht, was bei a) zu tun ist.
Ich werde die Rekursionsformel im allgemeineren Kontext herleiten und übernehme dabei die Darstellung in Stoer (Numerische Mathematik I, Springer-Verlag), gestalte den Beweis nur etwas ausführlicher und in eigenen Worten. Durch konkretes Einsetzen der Koeffizienten sollte es dir dann leicht mögich sein daraus eine konkrete Rekursionsformel für die Hermite-Polynome herzuleiten. Übrigens tauchten die Hermite-Polynome vor ein paar Tagen auch im Finanzmathematik-Forum aud: auch die mathematische Welt ist klein. 
Beachte aber bitte, dass die Polynome zwar orthogonal sind, aber nicht notwendigerweise orthonormal. Ich weiß gerade nicht auf Anhieb, wie sich die Formel ändern, wenn man die Polynome normiert.
Es sei
[mm] $\bar{\Pi}_j [/mm] := [mm] \{p \in \Pi_j \, \vert\, p(x) = x^j + a_1 x^{j-1} + \dlots + a_j\, , a_i \in \IR \quad (i=1,\ldots,j)\}$
[/mm]
die Menge der normierten Polynomfunktionen vom Grad $j$ und dabei [mm] $\Pi_j$ [/mm] der lineare Raum aller reellen Polynomfunktionen vom Grad [mm] $\le [/mm] j$.
Es seien $a,b [mm] \in \bar{\IR}$, [/mm] $a<b$, beliebig gewält, und wir betrachten das Intervall $[a,b]$. Es sei [mm] $\omega:[a,b] \to \IR$ [/mm] eine Gewichtsfunktion auf $[a,b]$, d.h. [mm] $\omega$ [/mm] erfülle die folgenden Voraussetzungen:
(1) [mm] $\omega$ [/mm] ist auf $[a,b]$ nichtnegativ und messbar.
(2) Alle Momente
[mm] $\mu_k:= \int_a^b x^k \, \omega(x)\, [/mm] dx$ ($k [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
existieren und sind endlich.
(3) Für jede Polynomfunktion $s(x)$ mit
[mm] $\int_a^b \omega(x)s(x)\, [/mm] dx=0$
und
$s(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für $x [mm] \in[a,b]$
[/mm]
gilt: $s(x)=0$.
Dann führen wir auf dem Raum aller Funktionen $f [mm] \in L^2[a,b]$, [/mm] für die das Integral
[mm] $\int_a^b\omega(x) \, f(x)^2\, [/mm] dx$
existiert und endlich ist, das folgende Skalarprodukt ein:
[mm] $\langle [/mm] f,g [mm] \rangle_{\omega}:= \int_a^b \omega(x)\, f(x)\, g(x)\, [/mm] dx$.
Man kann nun zeigen:
Satz
Es gibt für [mm] $j=0,1,\ldots$ [/mm] eindeutug bestimmte Polynomfunktionen [mm] $p_j \in \bar{\Pi}_j$ [/mm] mit
[mm] $\langle p_i,p_k \rangle_{\omega} [/mm] = 0$ für $i [mm] \ne [/mm] k$.
Diese Polynomefunktionen genügen der Rekursionsformel
[mm] $p_0(x) [/mm] = 1$,
[mm] $p_{i+1}(x) [/mm] = [mm] (x-\delta_{i+1})\, p_i(x) [/mm] - [mm] \gamma_{i+1}^2\, p_{i-1}(x)$ [/mm] für $i [mm] \ge [/mm] 0$,
wobei [mm] $p_{-1}(x) [/mm] :=0$,
[mm] $\delta_{i+1}:= \frac{\langle xp_i,p_i \rangle_{\omega}}{\langle p_i,p_i \rangle_{\omega}}$ [/mm] für $i [mm] \ge [/mm] 0$.
(hierbei ist [mm] $\langle xp_i,p_i \rangle_{\omega} [/mm] = [mm] \int_a^b \omega(x)\, x\, p_i(x)^2\, [/mm] dx$)
und
[mm] $\gamma_{i+1}^2 [/mm] := [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & \mbox{für} & i=0,\\[5pt] \frac{\langle p_i,p_i \rangle}{\langle p_{i-1},p_{i-1} \rangle} & \mbox{für} & i \ge 1. \end{array} \right.$
[/mm]
[u]Beweis[/b]
Die Polynome
Version von 12:22, als Stefan gepostet:
Lieber Andreas!
Ich wollte dir ja noch die Rekursionsformel für die Hermite-Polynome nennen. Eventuell war das ja ein Ziel der Aufgabe, diese auch mit herzuleiten. Das war zumindestens mir ja nicht ganz klar. Denn ansonsten weiß ich nicht, was bei a) zu tun ist.
Ich werde die Rekursionsformel im allgemeineren Kontext herleiten und übernehme dabei die Darstellung in Stoer (Numerische Mathematik I, Springer-Verlag), gestalte den Beweis nur etwas ausführlicher und in eigenen Worten. Durch konkretes Einsetzen der Koeffizienten sollte es dir dann leicht mögich sein daraus eine konkrete Rekursionsformel für die Hermite-Polynome herzuleiten. Übrigens tauchten die Hermite-Polynome vor ein paar Tagen auch im Finanzmathematik-Forum aud: auch die mathematische Welt ist klein.
Es sei
[mm] $\bar{\Pi}_j [/mm] := [mm] \{p \in \Pi_j \, \vert\, p(x) = x^j + a_1 x^{j-1} + \dlots + a_j\, , a_i \in \IR \quad (i=1,\ldots,j)\}$
[/mm]
die Menge der normierten Polynomfunktionen vom Grad $j$ und dabei [mm] $\Pi_j$ [/mm] der lineare Raum aller reellen Polynomfunktionen vom Grad [mm] $\le [/mm] j$.
Es seien $a,b [mm] \in \bar{\IR}$, [/mm] $a<b$, beliebig gewält, und wir betrachten das Intervall $[a,b]$. Es sei [mm] $\omega:[a,b] \to \IR$ [/mm] eine Gewichtsfunktion auf $[a,b]$, d.h. [mm] $\omega$ [/mm] erfülle die folgenden Voraussetzungen:
(1) [mm] $\omega$ [/mm] ist auf $[a,b]$ nichtnegativ und messbar.
(2) Alle Momente
[mm] $\mu_k:= \int_a^b x^k \, \omega(x)\, [/mm] dx$ ($k [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
existieren und sind endlich.
(3) Für jedes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Stefan |
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