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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 22.04.2011 | | Autor: | sasi |
| Aufgabe | Sei (X, d)ein metrischer Raum und M, A, B [mm]\subset[/mm] X.
a) Beweisen Sie:
(i) M° = M \ [mm]\delta[/mm]M
(ii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\overline{M}[/mm] \ M°
(iii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\delta[/mm] ( X \ M )
(iv) X \ [mm]\overline{M}[/mm]= (X \ M)°
(v) [mm] $\overline{X}$ [/mm] \ [mm] $\overline{M}$ [/mm] = X \ M°
(das erste \ bei (v) sollte eigentlich mit unter dem Strich liegen, ich komme nur leider mit der Formatierung nicht so ganz klar) |
Hallo,
ich komme bei einem Übungsblatt zur AnalysisII nicht weiter.
Irgendwie komme ich bei jeder Teilaufgabe an einen Punkt, an dem ich bezweifel, dass das was bewiesen werden soll, tatsächlich zutrifft, nicht unbedingt fördelich für einen vernünftigen Beweis.
Ich versuche mal meine Bedenken bei den einzelnen Teilaufgaben zu erläutern und würde mich riesig über eine Erklärung, was ich dort missverstehe freuen!
Zu (i) M° = M \ [mm]\delta[/mm]M
Ich hab zuerst versucht das ganze mit Epsilon Umgebungen zu beweisen, dass ein Punkt aus M entweder in M°, oder in [mm]\delta[/mm] M liegen muss.
Dann ist mir aber aufgefallen, dass M theoretisch ja auch isolierte Punkte enthalten kann. Die wären doch dann auch in M\[mm]\delta[/mm]M nicht aber in M° enthalten...
Zu (ii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\overline{M}[/mm] \ M°
[mm]\gdw[/mm] [mm]\delta[/mm]M=(M [mm]\cup[/mm][mm]\delta[/mm]M) \ M°
[mm]\gdw[/mm] [mm]\delta[/mm]M=( M \ M° ) [mm]\delta[/mm]M
Damit wär ich wieder beim selben Problem wie bei (ii).
Zu (iii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\delta[/mm] ( X \ M )
In dem Ausdruck rechts vom "=" ist doch [mm] $\delta$X [/mm] enthalten, in dem links nicht???
Spontane Idee: Ist [mm] $\delta$X [/mm] die leere Menge, weil X ein metrischer Raum ist?
Bei (iv) und (v) komme ich zu demselben Problem wie in (iii).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei (X, d)ein metrischer Raum und M, A, B [mm]\subset[/mm] X.
>
> a) Beweisen Sie:
> (i) M° = M \ [mm]\delta[/mm]M
> (ii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\overline{M}[/mm] \ M°
> (iii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\delta[/mm] ( X \ M )
> (iv) X \ [mm]\overline{M}[/mm]= (X \ M)°
> (v) [mm]\overline{X}[/mm] \ [mm]\overline{M}[/mm] = X \ M°
>
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> Hallo,
>
> ich komme bei einem Übungsblatt zur AnalysisII nicht
> weiter.
>
> Irgendwie komme ich bei jeder Teilaufgabe an einen Punkt,
> an dem ich bezweifel, dass das was bewiesen werden soll,
> tatsächlich zutrifft, nicht unbedingt fördelich für
> einen vernünftigen Beweis.
>
> Ich versuche mal meine Bedenken bei den einzelnen
> Teilaufgaben zu erläutern und würde mich riesig über
> eine Erklärung, was ich dort missverstehe freuen!
>
> Zu (i) M° = M \ [mm]\delta[/mm]M
>
> Ich hab zuerst versucht das ganze mit Epsilon Umgebungen zu
> beweisen, dass ein Punkt aus M entweder in M°, oder in
> [mm]\delta[/mm] M liegen muss.
> Dann ist mir aber aufgefallen, dass M theoretisch ja auch
> isolierte Punkte enthalten kann. Die wären doch dann auch
> in M\[mm]\delta[/mm]M nicht aber in M° enthalten...
Sie sind in beiden Mengen nicht enthalten. Isolierte Punkte liegen auf dem Rand von M. Damit sind sie auch nicht in [mm] $M\backslash\delta [/mm] M$. Es gibt keine Umgebung, die nur Punkte aus M enthält, damit sind sie nicht in [mm] $M^\circ$. [/mm] Das löst das Problem. Ist auch ganz einfach zu zeigen.
> Zu (ii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\overline{M}[/mm] \ M°
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\delta[/mm]M=(M [mm]\cup[/mm][mm]\delta[/mm]M) \ M°
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\delta[/mm]M=( M \ M° ) [mm]\delta[/mm]M
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> Damit wär ich wieder beim selben Problem wie bei (ii).
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> Zu (iii) [mm]\delta[/mm]M = [mm]\delta[/mm] ( X \ M )
>
> In dem Ausdruck rechts vom "=" ist doch [mm]\delta[/mm]X enthalten,
> in dem links nicht???
> Spontane Idee: Ist [mm]\delta[/mm]X die leere Menge, weil X ein
> metrischer Raum ist?
Genau. Jede Umgebung eines Punktes aus X kann ja nur Punkte aus X enthalten. Damit gehört der Punkt nicht zum Rand. Der Rand ist leer.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Sa 23.04.2011 | | Autor: | sasi |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, da hatte ich wohl eine falsch Definition des Randes in Kopf.
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