total differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 22.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zum folgenden ![[]](/images/popup.gif) Probeklausur-Loesung.pdf
Bei der Lösung zur Aufgabe 2 a) steht, daß da g diffbar in [mm] x_{0} [/mm] ist , gilt....
Warum gibt es dort solche Ausdrücke wie [mm] x-x_{0} [/mm] anstatt h
Z.B in der Definition aus Forster Analysis 2 steht , daß
[mm] g(x_{0}+h) [/mm] = [mm] g(x_{0}) +Ah+\phi(h) [/mm] für
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\phi(h)}{||h||}= [/mm] 0
Nehmen wir an, daß man [mm] x-x_{0}=:h [/mm] schreiben kann, dann
würde dort ungefähr folgendes stehen:
[mm] g(x_{0}+h)=g(x_{0})+ [/mm] <h, grad [mm] g(x_{0})>+\phi (x_{0}+h)
[/mm]
für [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\phi(x_{0}+h}{||h||}=0
[/mm]
Würde das äquivalent zur Definition der totalen Differenzierbarkeit sein ,
und warum?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zum folgenden
> Probeklausur-Loesung.pdf
> Bei der Lösung zur Aufgabe 2 a) steht, daß da g diffbar
> in [mm]x_{0}[/mm] ist , gilt....
> Warum gibt es dort solche Ausdrücke wie [mm]x-x_{0}[/mm] anstatt
> h
> Z.B in der Definition aus Forster Analysis 2 steht ,
> daß
> [mm]g(x_{0}+h)[/mm] = [mm]g(x_{0}) +Ah+\phi(h)[/mm] für
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\phi(h)}{||h||}=[/mm] 0
> Nehmen wir an, daß man [mm]x-x_{0}=:h[/mm] schreiben kann, dann
> würde dort ungefähr folgendes stehen:
> [mm]g(x_{0}+h)=g(x_{0})+[/mm] <h, grad [mm]g(x_{0})>+\phi (x_{0}+h)[/mm]
>
> für [mm]\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\phi(x_{0}+h}{||h||}=0[/mm]
Du sagst es : "ungefähr". Sowas kann man in der Mathematik nicht gebrauchen ! Wenn man setzt [mm]x-x_{0}=:h[/mm] , so steht genau folgendes da:
$ g(x)= [mm] g(x_0)++\phi(x)$ [/mm] mit [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{\phi(x}{||x-x_0||}=0[/mm]
>
> Würde das äquivalent zur Definition der totalen
> Differenzierbarkeit sein ,
Ja
Du hast doch [mm] $x=x_0+h$ [/mm] und es gilt: $x [mm] \to x_0 \gdw [/mm] h [mm] \to [/mm] 0$
FRED
> und warum?
>
> Gruß
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Do 22.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
es steht aber genauer geschrieben nicht [mm] \phi(x) [/mm] , sondern [mm] \phi (x_{0}+h) [/mm] (im Bruch). Das sieht nicht genau aus, wie in der Definition in Forster. Warum?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> es steht aber genauer geschrieben nicht [mm]\phi(x)[/mm] , sondern
> [mm]\phi (x_{0}+h)[/mm] (im Bruch). Das sieht nicht genau aus, wie
> in der Definition in Forster. Warum?
Es ist [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{\phi(x)}{||x-x_0||}= [/mm] 0 [mm] \gdw \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\phi(x_0+h)}{||h||}= [/mm] 0 $
FRED
>
>
> Gruß
> Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Do 22.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
in Forster steht [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{\phi(h)}{||h||}=0
[/mm]
Ist das äquivalent zu [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{\phi(x)}{||x-x_0||}= 0 \gdw \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\phi(x_0+h)}{||h||}= 0[/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Do 22.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Ich fasse meine Frage nochmal zusammen:
in Forster steht ungefähr: (ungefähr , weil ich nicht die ganze Definition schreibe; wenn es aber unklar worum es geht , kann ich diese posten)
[mm] x_{0}:= [/mm] z , [mm] \phi [/mm] =: b (einfacher zu schreiben)
g(z+h)=g(z) +Ah + b(h) für [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{b(h)}{||h||}=0
[/mm]
g(z+h)=g(z) +Ah + b(z+h) für [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{b(z+h)}{||h||}=0
[/mm]
steht im geposteten Link.
Sind beide Definitionen äquivalent?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich fasse meine Frage nochmal zusammen:
> in Forster steht ungefähr: (ungefähr , weil ich nicht
> die ganze Definition schreibe; wenn es aber unklar worum es
> geht , kann ich diese posten)
>
>
> [mm]x_{0}:=[/mm] z , [mm]\phi[/mm] =: b (einfacher zu schreiben)
> g(z+h)=g(z) +Ah + b(h) für [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{b(h)}{||h||}=0[/mm]
>
>
> g(z+h)=g(z) +Ah + b(z+h) für [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{b(z+h)}{||h||}=0[/mm]
>
> steht im geposteten Link.
>
> Sind beide Definitionen äquivalent?
O.K. jetzt verstehe ich Dein Problem.
Die Funktionen b in
(1) g(z+h)=g(z) +Ah + b(h) für [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{b(h)}{||h||}=0[/mm]
und
(2) g(z+h)=g(z) +Ah + b(z+h) für [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{b(z+h)}{||h||}=0[/mm]
sind natürlich nicht die gleichen !!!
Schreibe daher besser:
(2') g(z+h)=g(z) +Ah + c(z+h) für [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{c(z+h)}{||h||}=0[/mm]
FRED
>
> Gruß
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 22.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
dann müßte c(z+h)=b(h) sein, damit (1) und (2) äquivalent sind ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> dann müßte c(z+h)=b(h) sein, damit (1) und (2)
> äquivalent sind ?
>
Ja
FRED
>
>
> Gruß
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 22.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
meine nächste Frage bezieht sich wieder auf den oben geposteten Link.
Warum gilt die erste Gleichung nach den Worten:"Da f in [mm] x_{0} [/mm] stetig ist..."
in der Lösung zur Aufgabe 2 a). Folgt das aus der Stetigkeit von f in [mm] x_{0} [/mm] ? Inwieweit?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Fr 23.07.2010 | | Autor: | fred97 |
In der Zeile über "=0+0" hast Du die Summe zweier Grenzwerte. Der erste GW ist = 0, weil f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, denn dann gilt $f(x) [mm] -f(x_0) \to [/mm] 0$ für x [mm] \to x_0 [/mm] und der zweite GW ist = 0, weil g in [mm] x_0 [/mm] differenziebar ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Ich meine die Zeile eins drüber, also die erste Gleichung.
Ich vermute , daß man das limes in zwei limes deshalb aufspalten kann, weil die beiden aufgespaltene Grenzwerte existieren. Der erste existiert, weil f in [mm] x_{0} [/mm] stetig ist , und der zweite existiert, weil der Ausdruck mit [mm] \phi [/mm] auch konvergiert.
Stimmt das?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich meine die Zeile eins drüber, also die erste
> Gleichung.
>
> Ich vermute , daß man das limes in zwei limes deshalb
> aufspalten kann, weil die beiden aufgespaltene Grenzwerte
> existieren. Der erste existiert, weil f in [mm]x_{0}[/mm] stetig ist
> , und der zweite existiert, weil der Ausdruck mit [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auch
> konvergiert.
> Stimmt das?
ja. Aber wirklich "logisch" ist sowas meist eigentlich durch rückwärtslesen. Denn: Falls $\lim_{x \to x_0}f(x)$ und $\lim_{x \to x_0}g(x)$ existieren, dann existiert auch $\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))$ mit
$$\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=\lim_{x \to x_0}f(x)+\lim_{x \to x_0}g(x)\,.$$
Die Umkehrung gilt i.a. nicht, wie Du z.B. erkennst mit
$$f(x):=\frac{1}{1-x_0}$$
und
$$g(x):=-f(x)=-\frac{1}{1-x_0}\;\;(x \not=x_0)\,.$$
Logisch wäre also: Wegen $f\,$ stetig in $x_0$ gilt $0=\lim_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))$ bzw. $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ und damit
$$0=0+0=\underbrace{0}_{=\lim\limits_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))}*<\frac{x-x_0}{\|x-x_0\|},\,\text{grad }g(x_0)}>+\underbrace{f(x_0)}_{\lim\limits_{x \to x_0}f(x)}*0\,.$$
Und wenn Du nun genau drauf achtest, so erkennst Du, dass da auch ein Satz
$\text{"}$Falls $\lim_{x \to x_0}j(x)$ und $\lim_{x \to x_0}k(x)$ existieren, dann existiert auch $\lim_{x \to x_0}(j(x)*k(x))$ mit
$$\lim_{x \to x_0}(j(x)*k(x))=\lim_{x \to x_0}j(x)*\lim_{x \to x_0}k(x)\,.\text{"}$$
Oben wird dann zuerst
$$0=f(x_0)*0=f(x_0)*\lim_{x \to x_0}\frac{\varphi(x)}{\|x-x_0\|}=\lim_{x \to x_0}f(x)*\lim_{x \to x_0}\frac{\varphi(x)}{\|x-x_0\|}$$
und nun auch noch dieser Satz benutzt.
Kurz gesagt:
Man benutzt die Stetigkeit von $f\,$ an $x_0$, um $\blue{f(x_0)=\lim_{x \to x_0}f(x)}$ und $\blue{0=\lim_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))}$ (wobei beides äquivalent zueinander ist) schreiben zu dürfen, und ansonsten "Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte von zwei (oder allgemeiner: endlich vielen) Funktionen an einer Stelle $x_0$" - im Analogon zu "Rechenregeln für konvergente Folgen". Vgl. etwa Bemerkung und Definition 10.10, und auch Definition 10.4.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 27.07.2010 | | Autor: | Abu_Dun |
Kann man die Aufgabe 2a nicht viel einfacher lösen?!
[mm] \bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}= \bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)}{h}
[/mm]
da f stetig und g diffbar in [mm] x_0 [/mm] existiert der Limes davon und es gilt
[mm] (fg)'(x_0)=lim \bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h} [/mm] = lim [mm] \bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)}{h} [/mm] = lim [mm] f(x_0+h) [/mm] lim [mm] \bruch{g(x_0+h)}{h} [/mm] = [mm] f(x_0)*grad g(x_0)
[/mm]
oder ist da ein Fehler_
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Kann man die Aufgabe 2a nicht viel einfacher lösen?!
>
> [mm]\bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}= \bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)}{h}[/mm]
>
> da f stetig und g diffbar in [mm]x_0[/mm] existiert der Limes davon
> und es gilt
> [mm](fg)'(x_0)=lim \bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0)}{h}[/mm] =
> lim [mm]\bruch{f(x_0+h)g(x_0+h)}{h}[/mm] = lim [mm]f(x_0+h)[/mm] lim
> [mm]\bruch{g(x_0+h)}{h}[/mm] = [mm]f(x_0)*grad g(x_0)[/mm]
>
> oder ist da ein Fehler_
Ja, Du dividierst durch den Vektor h
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Di 27.07.2010 | | Autor: | Abu_Dun |
Aber wenn man h durch |h| stimmts? Auf dem PC vergess ich die Striche immer :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aber wenn man h durch |h| stimmts?
Nein. Schau Dir nochmal die Def. der Differenzierbarkeit im [mm] \IR^n [/mm] an.
FRED
> Auf dem PC vergess ich
> die Striche immer :/
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