totales Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 So 22.03.2009 | | Autor: | JPC |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich hier richtig bin, aber ich hoffe, dass mir trotzdem geholfen werden kann.
Mir ist die folgende Funktion der gesamtwirtschaftlichen Güternachfrage gegeben: Y=C(Y-T) + gY - qY + [mm] \overline{X} [/mm] + [mm] \overline{D} [/mm] + I(r) wobei noch gilt T=gY.
Als nächstes ist das totale Differential gegeben.
[mm] dY=\bruch{\partial C}{\partial (Y-T)}*(1-g)*dY [/mm] + g*dY - q*dY + [mm] \bruch{\partial I}{\partial r}*dr [/mm] + [mm] d\overline{X} [/mm] + [mm] d\overline{D}
[/mm]
Ich weiß, dass ich für ein totales Differential die partielen Ableitungen bilden und diese dann addieren muss. (Oder ist das schon verkehrt?) Ich komme aber einfach nicht selber auf das totale Differential. Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte und mir Schritt für Schritt erklären könnte, wie ich das totale Differential bilden muss. Vor allem auch wie aus C(Y-T) [mm] \bruch{\partial C}{\partial (Y-T)}*(1-g)*dY [/mm] wird.
Schonmal vielen Dank!!!
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Hallo JPC,
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet
> gestellt.
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> Hallo,
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> ich bin mir nicht sicher, ob ich hier richtig bin, aber ich
> hoffe, dass mir trotzdem geholfen werden kann.
>
> Mir ist die folgende Funktion der gesamtwirtschaftlichen
> Güternachfrage gegeben: Y=C(Y-T) + gY - qY + [mm]\overline{X}[/mm] +
> [mm]\overline{D}[/mm] + I(r) wobei noch gilt T=gY.
>
> Als nächstes ist das totale Differential gegeben.
>
> [mm]dY=\bruch{\partial C}{\partial (Y-T)}*(1-g)*dY[/mm] + g*dY -
> q*dY + [mm]\bruch{\partial I}{\partial r}*dr[/mm] + [mm]d\overline{X}[/mm] +
> [mm]d\overline{D}[/mm]
>
> Ich weiß, dass ich für ein totales Differential die
> partielen Ableitungen bilden und diese dann addieren muss.
> (Oder ist das schon verkehrt?) Ich komme aber einfach nicht
> selber auf das totale Differential. Es wäre super, wenn mir
> jemand helfen könnte und mir Schritt für Schritt erklären
> könnte, wie ich das totale Differential bilden muss. Vor
> allem auch wie aus C(Y-T) [mm]\bruch{\partial C}{\partial (Y-T)}*(1-g)*dY[/mm]
> wird.
Das totale Differential einer Funktion [mm]f\left(x_{1}, \ \cdots \ ,x_{n}\right)[/mm] ergibt sich zu:
[mm]df=\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial f}{\partial x_{i}} \ dx_{i}[/mm]
Wobei hier zur Bildung der partiellen Ableitungen,
die Gesetzmäßigkeiten der reellen Differentiation anzuwenden sind.
Beispiel:
Die partielle Ableitung von f nach [mm]x_{1}[/mm] wird gebildet,
in dem man die Variablen [mm]x_{2}, \ \cdots \ ,x_{n}[/mm] als Konstanten betrachtet,
und nach [mm]x_{1}[/mm] ableitet.
Die Ableitung von [mm]C(Y-T)[/mm] ergibt sich nach der Kettenregel:
[mm]\bruch{dC}{dY}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}*\bruch{d\left(Y-T\right)}{dT}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}*\left(1-g\right)[/mm]
>
> Schonmal vielen Dank!!!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 So 22.03.2009 | | Autor: | JPC |
Hallo,
also, Anwendung der Kettenregel bei diesem speziellen Fall ist klar. Aber jetzt versteh ich das hier [mm] \bruch{dC}{dY}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}\cdot{}\bruch{d\left(Y-T\right)}{dT}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}\cdot{}\left(1-g\right) [/mm] nicht.
Warum soll C nach Y abgeleitet werden? Und warum muss ich dann (Y-T) nach T ableiten? (Y-T beschreibt das Nettoeinkommen. Hätte ich vielleicht erwähnen sollen?) Und wo ist am Schluss dY geblieben?
...Naja, wie gesagt, es ist für mich am hilfreichsten, wenn mir jemand wirklich jede partielle Ableitung im Detail erklären könnte. Also, was weshalb gemacht wird. Das ist echt wichtig für mich, weil im Skript immer wieder Aufgaben dieser Art kommen und wenn ich das Prinzip einmal kapiert habe, hoffe ich, dass ich das Übrige allein gut hinbekomme.
Also, schonmal vielen Dank für die Geduld!!!
Liebe Grüße
Julia
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Hallo JPC,
> Hallo,
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> also, Anwendung der Kettenregel bei diesem speziellen Fall
> ist klar. Aber jetzt versteh ich das hier
> [mm]\bruch{dC}{dY}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}\cdot{}\bruch{d\left(Y-T\right)}{dT}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}\cdot{}\left(1-g\right)[/mm]
> nicht.
>
> Warum soll C nach Y abgeleitet werden? Und warum muss ich
> dann (Y-T) nach T ableiten? (Y-T beschreibt das
> Nettoeinkommen. Hätte ich vielleicht erwähnen sollen?) Und
> wo ist am Schluss dY geblieben?
Weil das nur die Ableitung von C nach Y ist.
Sorry, war ein Schreibfehler von mir. Natürlich muß es hier heißen:
[mm]\bruch{dC}{dY}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}\cdot{}\bruch{d\left(Y-T\right)}{d\blue{Y}}=\bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}\cdot{}\left(1-g\right)[/mm]
bzw. das zugehörige Differential
[mm]\bruch{dC}{dY} \ dY= \bruch{dC}{d\left(Y-T\right)}\cdot{}\left(1-g\right) \ dY[/mm]
>
> ...Naja, wie gesagt, es ist für mich am hilfreichsten, wenn
> mir jemand wirklich jede partielle Ableitung im Detail
> erklären könnte. Also, was weshalb gemacht wird. Das ist
> echt wichtig für mich, weil im Skript immer wieder Aufgaben
> dieser Art kommen und wenn ich das Prinzip einmal kapiert
> habe, hoffe ich, dass ich das Übrige allein gut
> hinbekomme.
[mm]Y=C(Y-T) + gY - qY + $ \overline{X} $ + $ \overline{D} $ + I(r)[/mm]
[mm]gY-qY=\left(g-q)*Y\right)[/mm] wird hier nach Y abgeleitet, der Faktor [mm]g-q[/mm] ist hier als konstant anzusehen, da nicht von Y abhängig.
Demnach ist
[mm]\bruch{d\left(g-q\right)Y}{dY}= \left(g-q\right)[/mm]
bzw. das zugehörige Differential
[mm]\bruch{d\left(g-q\right)Y}{dY} \ dY= \left(g-q\right) \ dY[/mm]
[mm]\overline{X}[/mm] wird hier nach [mm]\overline{X}[/mm] abgeleitet, da nur von [mm]\overline{X}[/mm] abhängig.
Demnach ist,
[mm]\bruch{d\overline{X}}{d\overline{X}}= 1[/mm]
bzw. das zugehörige Differential
[mm]\bruch{d\overline{X}}{d\overline{X}} \ d\overline{X}= 1 \ d\overline{X}[/mm]
[mm]\overline{D}[/mm] wird hier nach [mm]\overline{D}[/mm] abgeleitet, da nur von [mm]\overline{D}[/mm] abhängig.
Demnach ist,
[mm]\bruch{d\overline{D}}{d\overline{D}}= 1[/mm]
bzw. das zugehörige Differential
[mm]\bruch{d\overline{D}}{d\overline{D}} \ d\overline{X}= 1 \ d\overline{D}[/mm]
[mm]I\left(r\right)[/mm] wird hier nach r abgeleitet, da nur von r abhängig.
Demnach ist,
[mm]\bruch{dI}{dr}= I_{r}[/mm]
bzw. das zugehörige Differential
[mm]\bruch{dI}{dr} \ dr= I_{r} \ dr[/mm]
>
> Also, schonmal vielen Dank für die Geduld!!!
>
> Liebe Grüße
>
> Julia
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 23.03.2009 | | Autor: | JPC |
Hallo,
vielen, vielen Dank für die Antwort!!! das hat mich schon ein ganzes Stück weitergebracht!!!
...aber bei einigen sachen steh ich immer noch aufm Schlauch..., wäre schön, wenn ich dazu auch noch eine Antwort bekommen würde.
Also, ich beginne das totale Differential mit der Ableitung von C nach Y. warum? Müsste ich nicht eigentlich Y nach C ableiten (weil ich doch die gesamtwirtschaftliche Güternachfrage ableiten soll)? (Weil man aber Y nach C nicht gut ableiten kann, da C ja eine Funktion in Abhängigkeit von Y ist, müsste ich doch als Folge Y nach Y ableiten, oder?)
Das gleiche Problem habe ich z. B. auch bei der Ableitung von X. Eigentlich müsste ich doch Y nach X ableiten? Oder wo sitzt mein Denkfehler?
dY kennzeichnet also ein Differential. Aber was genau sagt mir dY sonst? Welche Funktion hat dY?
Liebe Grüße
Julia
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Hallo JP,
> Hallo,
>
> vielen, vielen Dank für die Antwort!!! das hat mich schon
> ein ganzes Stück weitergebracht!!!
>
> ...aber bei einigen sachen steh ich immer noch aufm
> Schlauch..., wäre schön, wenn ich dazu auch noch eine
> Antwort bekommen würde.
>
> Also, ich beginne das totale Differential mit der Ableitung
> von C nach Y. warum? Müsste ich nicht eigentlich Y nach C
> ableiten (weil ich doch die gesamtwirtschaftliche
> Güternachfrage ableiten soll)? (Weil man aber Y nach C
> nicht gut ableiten kann, da C ja eine Funktion in
> Abhängigkeit von Y ist, müsste ich doch als Folge Y nach Y
> ableiten, oder?)
Laut ![[]](/images/popup.gif) hier ist der Konsum C und Y das Einkommen,
dabei ist der Konsum C vom Einkommen Y abhängig.
>
> Das gleiche Problem habe ich z. B. auch bei der Ableitung
> von X. Eigentlich müsste ich doch Y nach X ableiten? Oder
> wo sitzt mein Denkfehler?
Muß die Formel nicht so lauten:
[mm]Z=C(Y-T) + gY - qY + \overline{X} + \overline{D} + I(r)[/mm]
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> dY kennzeichnet also ein Differential. Aber was genau sagt
> mir dY sonst? Welche Funktion hat dY?
Das totale Differential beschreibt die Änderung einer Funktion
bei kleinen Änderungen der an der Funktion beteiligten Variablen.
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> Liebe Grüße
>
> Julia
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Di 24.03.2009 | | Autor: | JPC |
danke für die Hilfe
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