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| Aufgabe | Man betrachte die Affine Abbildung [mm] \phi:\IR^{2} \to \IR^{2},
[/mm]
[mm] \phi \vektor{x \\ y}=\pmat{ a & b \\ c & -a } \vektor{x \\ y}+\vektor{e \\ f} [/mm] .
Die Koeffizienten erfüllen folgende Bedingungen:
[mm] a^{2}+bc=1, [/mm] f(1-a)+ec=0, e(a+1)+bf=0.
Die angegebene Transformation ist eine affine Abbildung.
Untersuchen Sie die angegebene Transformation, indem Sie z.B. den Vektor [mm] t*\vektor{e \\ f} [/mm] durch phi abbilden. Das zeigt nämlich, dass die Abbildung bestimmte Fixpunkte und/oder Fixgeraden besitzt…
Können Sie aufgrund dieser Erkenntnisse weitere Transformationen ausschließen?
Dann betrachten Sie die Determinante der zugeordneten linearen Abbildung (der Matrix). Können Sie dadurch weitere Einschränkungen an die Transformation phi machen (Stichworte: Orientierungstreue, Streckfaktor)? Welche Transformationen sind überhaupt noch möglich…? Nennen Sie nun ein konkretes Beispiel für a,b,c,e,f, also ein Beispiel für eine konkrete Transformation. Wie sind b und c zu wählen? Stichwort: (Nicht-)Orthogonalität der Matrix… |
Hallo,
ich rechne gerade etwas planlos an der aufgabe rum und finde den roten faden irgendwie nicht.
1. verstehe ich nicht ganz was mit [mm] t*\vektor{e \\ f} [/mm] durch [mm] \phi [/mm] abbilden bedeutet bzw. wie ich daraus was ablesen soll?
was ist dieses t?
um fixpunkte und/oder -geraden zu bestimmen muss ich doch folgendes gleichungssystem lösen:
[mm] \pmat{ a-1 & b \\ c & -a-1 } \vektor{x \\ y}=-\vektor{e \\ f} [/mm]
da habe ich folgendes raus:
[mm] x=\bruch{-e+by}{(a-1)}
[/mm]
[mm] y=\bruch{f(1-a)+ec}{b+a-1} \Rightarrow [/mm] y=0 (Koeffizientenbedingung)
[mm] \Rightarrow x=\bruch{-e}{(a-1)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(\bruch{-e}{(a-1)},0) [/mm] oder sehe ich das falsch.
dann habe ich die determinante berechnet:
[mm] \vmat{ a & b \\ c & -a }=-1 [/mm] (koeffizientbedingung)
[mm] \Rightarrow [/mm] affine abbildung ist flächentreu bzw. orthogonal
ich weiß nicht wie ich jetzt weiterverfahre bzw. was ich machen soll.
ich brauche ja noch irgendwo die bedingung e(a+1)+bf=0??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 05.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man betrachte die Affine Abbildung [mm]\phi:\IR^{2} \to \IR^{2},[/mm]
>
> [mm]\phi \vektor{x \\ y}=\pmat{ a & b \\ c & -a } \vektor{x \\ y}+\vektor{e \\ f}[/mm]
> .
> Die Koeffizienten erfüllen folgende Bedingungen:
> [mm]a^{2}+bc=1,[/mm] f(1-a)+ec=0, e(a+1)+bf=0.
> Die angegebene Transformation ist eine affine Abbildung.
> Untersuchen Sie die angegebene Transformation, indem Sie
> z.B. den Vektor [mm]t*\vektor{e \\ f}[/mm] durch phi abbilden. Das
> zeigt nämlich, dass die Abbildung bestimmte Fixpunkte
> und/oder Fixgeraden besitzt…
> Können Sie aufgrund dieser Erkenntnisse weitere
> Transformationen ausschließen?
> Dann betrachten Sie die Determinante der zugeordneten
> linearen Abbildung (der Matrix). Können Sie dadurch
> weitere Einschränkungen an die Transformation phi machen
> (Stichworte: Orientierungstreue, Streckfaktor)? Welche
> Transformationen sind überhaupt noch möglich…? Nennen
> Sie nun ein konkretes Beispiel für a,b,c,e,f, also ein
> Beispiel für eine konkrete Transformation. Wie sind b und
> c zu wählen? Stichwort: (Nicht-)Orthogonalität der
> Matrix…
> Hallo,
> ich rechne gerade etwas planlos an der aufgabe rum und
> finde den roten faden irgendwie nicht.
> 1. verstehe ich nicht ganz was mit [mm]t*\vektor{e \\ f}[/mm] durch
> [mm]\phi[/mm] abbilden bedeutet
Du sollst [mm] $\phi(t*\vektor{e \\ f}) [/mm] $ berechnen. Vergiss nicht, die Koeffizientenbedingungen zu benutzen!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Mo 06.06.2011 | | Autor: | simplify |
danke,aber damit komme ich noch nicht wirklich weiter.
sieht meine abbildung jetzt so aus:
[mm] \phi(t \vektor{e \\ f} )=\pmat{ a & b \\ c & -a } [/mm] t [mm] \vektor{e\\f}+\vektor{e \\ f}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Di 07.06.2011 | | Autor: | Lippel |
> danke,aber damit komme ich noch nicht wirklich weiter.
> sieht meine abbildung jetzt so aus:
> [mm]\phi(t \vektor{e \\ f} )=\pmat{ a & b \\ c & -a }[/mm] t
> [mm]\vektor{e\\f}+\vektor{e \\ f}[/mm]
[mm] \ldots \pmat{ a & b \\ c & -a }\vektor{e\\f}t+\vektor{e \\ f} = \vektor{ae + bf \\ ce - af} t +\vektor{e \\ f} [/mm]
Und dann weiter mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Bedingungen,
wie Rainer bereits geschrieben hat.
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 07.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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