trig. Fkt & Differenzquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 07.02.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzquotienten die Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle [mm] x_{0}= \bruch{\pi}{2} [/mm] |
Hi mal wieder.
Die Lösung für diese Aufgabe habe ich, mich würde nun interessieren, wie die einzelnen Schritt zusammen kommen.
Ich versuche mal so weit wie es geht.
[mm] sin'\bruch{\pi}{2} [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \bruch{sinx-sin\bruch{\pi}{2}}{x-\bruch{\pi}{2}} [/mm]
//Dies geschieht natürlich über [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
Im folgenden erspare ich mir mal Schreibarbeit und führe den limes erstmal nicht mit.
= [mm] \bruch{sinx-1}{x-\bruch{\pi}{2}} [/mm] <-- [mm] sin\bruch{\pi}{2} [/mm] = 1
[mm] =\bruch{(sinx-1)(sinx+1)}{(x-\bruch{\pi}{2})(sinx+1)} [/mm] <--- erweitert zum 3.Binom
= [mm] \bruch{sin^{2}x-1}{(x-\bruch{\pi}{2})(sinx+1)} [/mm] <---- ausmultpliziert
= [mm] \bruch{-cos^{2}x}{(x-\bruch{\pi}{2})(sinx+1)} [/mm] <-- anhand der Additionstheoreme mit [mm] cos^{2}x+sin^{2}x [/mm] = 1
= [mm] \bruch{cosx}{sinx+1} [/mm] * [mm] \bruch{-cosx}{x-\bruch{\pi}{2} }
[/mm]
das Produkt getrennt....
[mm] =\bruch{cosx}{sinx+1} [/mm] * [mm] \bruch{sin(x-\bruch{\pi}{2}}{x-\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
so entspricht also -cosx = [mm] sin(x-\bruch{\pi}{2} [/mm] ?! anhand der verschiebung deutlich...
und mit [mm] \bruch{sin(x-\bruch{\pi}{2}}{x-\bruch{\pi}{2}} [/mm] = 1
folgt
= [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{cos x}{sinx+1} [/mm] *1
= 0 *1 = 0
Frage: wieso ist [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{cos x}{sinx+1} [/mm] = 0?
Vermutung: cos( [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0 und
sin ( [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] =1
=> [mm] \bruch{0}{2} [/mm] = 0
Ist das alles so richtig?
Danke schonmal.
Habe die Frage nicht in einem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 07.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Florian!
Ich habe keinen Fehler entdecken können ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") !
Nur eine kurze Gegenfrage: den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow \bruch{\pi}{2}} \bruch{\sin\left(x-\bruch{\pi}{2}\right)}{x-\bruch{\pi}{2}} [/mm] \ =\ 1$ dürft ihr so als vorausgesetzt nehmen bzw. habt ihn bereits nachgewiesen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Di 07.02.2006 | | Autor: | FlorianJ |
nun ja, wenn ich es substituiere könnte ich
[mm] y=x-\bruch{\pi}{2} [/mm] einsetzen und hätte
[mm] \bruch{sin(y)}{y} [/mm] = 1
dafür der beweis kommt aus der vorlesung.
selbst könnte ich ihn aber wohl nicht aufstellen.
Und abgesehen davon, drückt mir mal die Daumen, dass ich am Donnerstag Morgen eine ähnliche Aufgabe lösen kann 
danke ;)
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