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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
arcsin x + arccos x = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
für alle x [mm] \in [/mm] [-1,1] gilt. (Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - arcsin x ein Winkel zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] ist, dessen Cosinus x ist.) |
Hallo!
Hab leider überhaupt keine Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen soll bzw. was der Sinn dieser Aufgabe ist.
Danke im Voraus!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Sa 13.10.2012 | | Autor: | pits |
> Zeigen Sie, dass
> arcsin x + arccos x = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> für alle x [mm]\in[/mm] [-1,1] gilt. (Hinweis: Zeigen Sie, dass
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - arcsin x ein Winkel zwischen 0 und [mm]\pi[/mm]
> ist, dessen Cosinus x ist.)
Der [mm] $\sin(x)$ [/mm] entspricht der Länge der Gegenkathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypothenuse 1. Mit arcsin und arccos werden die beiden Winkel in diesem rechtwinkligen Dreieck berechnet (zumindest kann man es sich so vorstellen). Und dann ist klar, dass die Summe dieser Winkel [mm] $\pi/2$ [/mm] entspricht.
Aber du kannst es auch nach der Vorgabe lösen:
Zunächst muss man sich die Wertemenge der Funktion [mm] $\arcsin [/mm] (x)$ klar machen, wenn [mm] $x\in \left[-1;1 \right]$. [/mm] Damit ist klar, dass die Angabe zu dem Winkel in der Aufgabe stimmt. Jetzt soll man nach der Aufgabenstellung den Cosinus dieser Differenz bilden - einfach mal Aufschreiben. Und der Cosinus von [mm] $\pi/2-...$ [/mm] ist einfach nur eine Verschiebung des Cosinus und wenn man den Cosinus um [mm] $\pi/2$ [/mm] (bzw. 90°) verschiebt erhält man den Sinus ...
Ich hoffe, die Andeutungen reichen aus, dich auf einen Ansatz zu bringen und erläutern vielleicht sogar den Sinn ein bisschen. Gruß
pits
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Danke!
Sinn hab ich jetzt verstanden (zumindest hoffe ich das) :).
Nur wie soll ich jetzt das mit der Formel rechnen?
Soll ich dir Formelen noch weiter zerlegen. Vielleicht kann mir noch jemand die Schritte zeigen.
Danke!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
> Nur wie soll ich jetzt das mit der Formel rechnen?
Also noch ein Tipp:
[mm] $\cos(\frac{\pi}{2}-x) [/mm] = [mm] \sin(x)$
[/mm]
Das macht man sich am besten an der Zeichnung der Cosinus-Funktion klar. Der Wert von Cosinus ist an der Stelle pi/2 gleich 0 und wenn man von da an in Richtung der negativen x-Achsel "läuft" verläuft die Funktion wie die Sinusfunktion.
Wenn du das verwendest steht die Lösung schon da.
Wenn du es noch genauer brauchst, sag Bescheid.
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Wie kommst du den auf das jetzt?
Prof. hat uns als Hilfestellung/Lösungstipp angeboten
arccos x = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - arcsin x
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
> arccos x = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - arcsin x
Ja genau und dann gilt:
[mm]\gdw x = \cos(\bruch{\pi}{2} - \arcsin(x)) \\
\gdw x = \sin(\arcsin(x))[/mm]
und dann bist du schon fertig, denn das letzte ist offenbar eine wahre Aussage.
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Danke dir!!
>
> > arccos x = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - arcsin x
Anscheinend hab ich aber Probleme mit der Definition des arcsin x
Wie schaffst du den Schritt von
[mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - arcsin x
nach
[mm] \cos(\bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \arcsin(x))
[/mm]
>
> Ja genau und dann gilt:
> [mm]\gdw x = \cos(\bruch{\pi}{2} - \arcsin(x)) \\
\gdw x = \sin(\arcsin(x))[/mm]
>
> und dann bist du schon fertig, denn das letzte ist offenbar
> eine wahre Aussage.
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Hallo martin_vie,
das ist gar nicht so kompliziert, wie Du denkst.
> > > arccos x = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - arcsin x
>
> Anscheinend hab ich aber Probleme mit der Definition des
> arcsin x
>
> Wie schaffst du den Schritt von
>
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - arcsin x
>
> nach
>
> [mm]\cos(\bruch{\pi}{2}[/mm] - [mm]\arcsin(x))[/mm]
pits hat einfach den Cosinus auf beide Seiten der Gleichung angewandt.
Dann steht links [mm] \cos{(\arccos{(x)})}, [/mm] und das ist =x.
> > Ja genau und dann gilt:
> > [mm]\gdw x = \cos(\bruch{\pi}{2} - \arcsin(x)) \\
\gdw x = \sin(\arcsin(x))[/mm]
>
> >
> > und dann bist du schon fertig, denn das letzte ist offenbar
> > eine wahre Aussage.
Das gleiche gilt hier. Die Arcusfunktionen sind ja die Umkehrfunktionen der gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen. Allerdings bergen sie eine Menge Fallen, weil man sich immer vergegenwärtigen muss, dass sie nur einen bestimmten Definitionsbereich und einen bestimmten Wertebereich haben.
So ist z.B. [mm] \arcsin{(\sin{\left(\bruch{2\pi}{3}\right)})}=\bruch{\pi}{3}. [/mm] Mach Dir mal klar, warum.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Mo 15.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Setze f(x):=arcsin x + arccos x für x [mm] \in [/mm] [-1,1]
Dann ist f auf (-1,1) differenzierbar und f'(x)=0 für x [mm] \in [/mm] (-1,1).
Damit ist f auf (-1,1) konstant, Da f auf [-1,1] stetig ist, ist f auf [-1,1] konstant.
f(0) liefert nun das Gewünschte.
FRED
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