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Hallo, brauche dringend Hilfe bei dieser komischen aufgabe:
Man soll zeigen, dass jedes trigonometrische Polynom p von der Form
[mm] p(x)=a_{0}+\cos(x)+ \summe_{j=2}^{n} a_{j}\cos(jx)
[/mm]
mit reelen Koeffizienten [mm] a_{j} [/mm] und [mm] a_{0}< [/mm] 0.5 im Intervall [- [mm] \pi, \pi) [/mm] sowohl negative wie auch positive Werte annehmen muss.
Als Hinweis muss man irgendwie [mm] f(x):=p(x)(1\pm\cos(x)) [/mm] betrachten.
Ich freue mich auf jeden richtigen tipp!!!
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Hallo!
Du meintest wahrscheinlich [mm] $|a_0|<\bruch [/mm] 12$, oder?
Versuch doch mal, das Integral von [mm] $f^-(x)=p(x)(1-\cos [/mm] x)$ zu berechnen! Benutze dabei, dass [mm] $\{\cos(k\cdot):\ k\in\IN_0\}$ [/mm] ein Orthogonalsystem bilden.
Daraus, dass das Integral negativ ist, kann man folgern, dass $f$ einen negativen Anteil haben muss. Weil [mm] $1-\cos x\ge [/mm] 0$ folgt damit, dass $p$ einen negativen Anteil haben muss.
Ebenso kannst du dann mit $f^+$ zeigen, dass $p$ einen positiven Anteil haben muss.
Kommst du damit weiter?
Gruß, banachella
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> Hallo!
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> Du meintest wahrscheinlich [mm]|a_0|<\bruch 12[/mm], oder?
ja
> Versuch doch mal, das Integral von [mm]f^-(x)=p(x)(1-\cos x)[/mm]
> zu berechnen! Benutze dabei, dass [mm]\{\cos(k\cdot):\ k\in\IN_0\}[/mm]
> ein Orthogonalsystem bilden.
[mm]f^-(x)=p(x)(1-\cos x)[/mm] ???
[mm]\{\cos(k\cdot):\ k\in\IN_0\}[/mm] ???
was meinst du mit diesem cos, das verstehe ich nicht
> Daraus, dass das Integral negativ ist, kann man folgern,
> dass [mm]f[/mm] einen negativen Anteil haben muss. Weil [mm]1-\cos x\ge 0[/mm]
> folgt damit, dass [mm]p[/mm] einen negativen Anteil haben muss.
> Ebenso kannst du dann mit [mm]f^+[/mm] zeigen, dass [mm]p[/mm] einen
> positiven Anteil haben muss.
>
> Kommst du damit weiter?
>
> Gruß, banachella
wie soll ich integrieren? Grenzen?
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {f^{-}(x) dx}= \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] {p(x) [mm] (1-\cos(x))dx}=???
[/mm]
wie gehts denn weiter?
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Hallo!
> was meinst du mit diesem cos, das verstehe ich nicht
Damit meine ich, dass [mm] $\integral_{-\pi}^\pi \cos(x)\cos(kx)dx=0$ [/mm] ist, falls [mm] $k\ne [/mm] 1$...
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi} {f^{-}(x) dx}= \integral_{-\pi}^{\pi} {p(x) (1-\cos(x))dx}=???[/mm]
> wie gehts denn weiter?
Der Ansatz ist schon richtig! Multiplizier's mal aus und zieh die Summe raus. Dann fällt eine ganze Menge weg...
Gruß, banachella
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[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {f^{-}(x) dx}= \integral_{-\pi}^{\pi}{p(x)*(1-\cos(x))dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-\pi}^{\pi} {a_{0}+\cos(x)+ \summe_{j=2}^{n} a_{j}\cos(jx) - (a_{0}+\cos(x)+ \summe_{j=2}^{n} a_{j}\cos(jx) *\cos(x))dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-\pi}^{\pi} {(\summe_{j=2}^{n} a_{j}\cos(jx))dx - \integral_{-\pi}^{\pi} \cos(x)*\cos(x)dx - \integral_{-\pi}^{\pi}(\summe_{j=2}^{n} a_{j}\cos(jx)) *\cos(x))dx}=
[/mm]
[mm] =\integral_{-\pi}^{\pi} {(\summe_{j=2}^{n} a_{j}\cos(jx))dx - \pi - \integral_{-\pi}^{\pi}(\summe_{j=2}^{n} a_{j}\cos(jx)) *\cos(x))dx}=
[/mm]
was soll ich mit diesen Summen machen?
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Hallo!
Bei deiner Rechnung geht's ein bisschen durcheinander...
Bedenke, dass
[mm] $p(x)(1-\cos x)=a_0+\cos x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)-\left(a_0+\cos x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)\right)\cos x$$=a_0+\cos x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)-\left(a_0\cos x+\cos ^2x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)\cos x\right)$ [/mm] gilt.
Danach zieh die Summen aus dem Integral!
Gruß, banachella
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> [mm]p(x)(1-\cos x)=a_0+\cos x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)-\left(a_0+\cos x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)\right)\cos x[/mm][mm]=a_0+\cos x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)-\left(a_0\cos x+\cos ^2x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)\cos x\right)[/mm]
Das gleiche hab ich ja auch gemacht:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {a_{0}dx}=0
[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\cos(x)dx}=0
[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\cos(x)\cos(x)dx}=\pi
[/mm]
deswegen:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {(a_0+\cos x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx))dx}=\integral_{-\pi}^{\pi} {\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)dx}=???
[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {(a_0\cos x+\cos ^2x+\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)\cos x)dx}=\pi [/mm] + [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {(\summe_{k=2}^na_k\cos (kx)\cos x)dx}=???
[/mm]
So was hab ich noch nie gerechnet. Wie rechnet man diese Integrale von Summen, was muss man da rausziehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Di 14.06.2005 | | Autor: | Hexe |
Also allgemein sind endliche Summen und Integrale vertauschbar also ist [mm] \integral\summe=\summe\integral.
[/mm]
Ich hoffe das hilft weiter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Mo 13.06.2005 | | Autor: | johann1850 |
Sorry hab was falsches gewählt.
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