triogonalisierbar < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Di 29.01.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | 2)
Dei Frage ist ob [mm] \pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -1 } [/mm] trigonalisierbar ist.
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Die Eigenwerte sind [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=2
[/mm]
und die Eigenräume
zu [mm] x_{1}= <\vektor{4 \\ 3 \\5}> [/mm] zu [mm] x_{2}= <\vektor{1 \\ 1 \\ 1}> [/mm]
(daraus folgt schon mal, das die MAtrix nicht diagonalisierbar ist...
ABer wie muss ich nun weiter vorgehen?
[mm] b={\vektor{ 4 & 3 & 5} , e_1, e_2}--> c=\pmat{ 4 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
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> 2)
> Dei Frage ist ob [mm]\pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -1 }[/mm]
> trigonalisierbar ist.
Hallo,
ob das geht, siehst Du am charakteristischen Polynom: zerfällt es über dem gerade betrachteten Körper in Linearfaktoren, so ist die Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Di 29.01.2008 | | Autor: | Kreide |
okay,
wenn ich eine Matrix trigonalieren möchte , reicht es dann nicht die matrix in die Dreiecksform mit hilfe von GAUSS umzuformen? Demnach wäre dann doch jede matrix trigonalisierbar. Was ist denn der Unterschied zw einer trigonalisierten Matrix und einer Matrix in der Stufenform?
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> wenn ich eine Matrix trigonalieren möchte , reicht es dann
> nicht die matrix in die Dreiecksform mit hilfe von GAUSS
> umzuformen?
Nein.
"A ist ähnlich zu einer Dreiecksmatrix" hat ja eine ganz feste Bedeutung: es gibt eine invertierbare Matrix T so, daß [mm] T^{-1}AT [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
Stichwort. Basistransformation.
> Demnach wäre dann doch jede matrix
> trigonalisierbar.
Wie gesagt: wenn das charakteristische Polynom nicht zerfällt, ist die Matrix nicht trigonalisierbar.
> Was ist denn der Unterschied zw einer
> trigonalisierten Matrix und einer Matrix in der Stufenform?
Wie gesagt: die triangulierbare Matrix muß ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix sein.
Mit dem Gaußalgorithmus hat das eher nichts zu tun.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 29.01.2008 | | Autor: | Kreide |
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> > wenn ich eine Matrix trigonalieren möchte , reicht es dann
> > nicht die matrix in die Dreiecksform mit hilfe von GAUSS
> > umzuformen?
>
> Nein.
>
> "A ist ähnlich zu einer Dreiecksmatrix" hat ja eine ganz
> feste Bedeutung: es gibt eine invertierbare Matrix T so,
> daß [mm]T^{-1}AT[/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
>
> Stichwort. Basistransformation.
>
ach so, wenn A und A´ "ähnlich" zu einander sein sollen, muss also
[mm] {A^{'}}=T^{-1}AT [/mm] gelten.
_______________
"Äquivalent" sind zwei Matrizen wenn A und A´aus dem gleichem Vekotrraum stammen?
[mm] A,A´\in K^{m,n}
[/mm]
und man schreibt das formal so hin, stimmts?
A ~ A´
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> >
> > > wenn ich eine Matrix trigonalieren möchte , reicht es dann
> > > nicht die matrix in die Dreiecksform mit hilfe von GAUSS
> > > umzuformen?
> >
> > Nein.
> >
> > "A ist ähnlich zu einer Dreiecksmatrix" hat ja eine ganz
> > feste Bedeutung: es gibt eine invertierbare Matrix T so,
> > daß [mm]T^{-1}AT[/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
> >
> > Stichwort. Basistransformation.
> >
>
> ach so, wenn A und A´ "ähnlich" zu einander sein sollen,
> muss also
> [mm]{A^{'}}=T^{-1}AT[/mm] gelten.
Hallo,
ja, es muß eine Matrix T geben, so daß das gilt.
> _______________
> "Äquivalent" sind zwei Matrizen wenn A und A´aus dem
> gleichem Vekotrraum stammen?
??? Keine Ahnung, was Du hiermit meinst. Die "Formate" v. A und A' müssen übereinstimmen, das ist wahr.
Ansonsten: s.o.
> [mm]A,A´\in K^{m,n}[/mm]
> und man schreibt das formal so hin,
> stimmts?
> A ~ A´
Ja. Aber nur, wenn's so'n T gibt.
Gruß v. Angela
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