Über IC Gleichung lösen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 So 15.07.2012 | | Autor: | drossel |
Hallo, ich bekomme es irgentwie nicht vernünftig hin, Gleichung zu lösen über [mm] \IK=\IC [/mm] o.O. Ich will haben [mm] x^2+x+1=0 [/mm] , welche keine reellen Nullstellen hat und habe mit der p-g-Formel ausgerechnet
: [mm] x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\wurzel{3}}{2}i [/mm] und [mm] x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\wurzel{3}}{2}i [/mm] , falls ich mich nicht verrechnet habe. Wolframalpha gibt mir als komplexe Nullstellen [mm] (-1)^{\frac{2}{3}} [/mm] und [mm] -(-1)^{\frac{1}{3}} [/mm] an, aber irgentwie sehe ich nicht den Zusammenhang zwischen das, was ich ausgerechnet habe.
Wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Lg
|
|
| |
|
Hallo drossel,
> Hallo, ich bekomme es irgentwie nicht vernünftig hin,
> Gleichung zu lösen über [mm]\IK=\IC[/mm] o.O. Ich will haben
> [mm]x^2+x+1=0[/mm] , welche keine reellen Nullstellen hat und habe
> mit der p-g-Formel ausgerechnet
> : [mm]x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\wurzel{3}}{2}i[/mm] und
> [mm]x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\wurzel{3}}{2}i[/mm] , falls ich mich
> nicht verrechnet habe.
Das hast du richtig gerechnet!
> Wolframalpha gibt mir als komplexe
> Nullstellen [mm](-1)^{\frac{2}{3}}[/mm] und [mm]-(-1)^{\frac{1}{3}}[/mm] an,
> aber irgentwie sehe ich nicht den Zusammenhang zwischen
> das, was ich ausgerechnet habe.
Das ist ja mal ne blöde Darstellung.
Wenn du [mm] $-1=e^{\pi i}$ [/mm] benutzt, kannst du das Ergebnis von Wolfram in deines umrechnen.
*Ich* bevorzuge deine Darstellung mit Real- und Imaginärteil.
> Wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen
> könnte.
> Lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 So 15.07.2012 | | Autor: | drossel |
danke :), das ist dann ja schonmal beruhigend.
Hmm ich wollte auch erst die Nullstellen in die Form [mm] z=re^{i*\phi} [/mm] bringen und habe berechnet, zB für [mm] x_1, [/mm] dass [mm] x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\wurzel{3}}{2}i [/mm] und auch Betrag 1 hat (den Radius r) und danach verglichen [mm] -\frac{1}{2}+\frac{\wurzel{3}}{2}i =cos(\phi)+isin(\phi)
[/mm]
also aus [mm] cos(\phi)=-\frac{1}{2} [/mm] bekomme ich [mm] \phi=\frac{2*\pi}{3}
[/mm]
aber auch wegen [mm] \frac{\wurzel{3}}{2}=sin(\phi) [/mm] bekomme ich [mm] \phi=\frac{\pi}{3} [/mm] das kann soch nicht sein oder? da muss doch dann beidemale [mm] \frac{2*\pi}{3} [/mm] rauskommen oder? Und ich frage mich, wie ich das in der Klausur ausrechnen soll mit den Werten von arcsin, arccos, wenn ich kein Wolframalpha zu Verfügung habe =( vor allem wenn ich mir den Graphen anschaue, dann weiss ich jetzt schon, dass ich das ohne Rechner nicht ausrechnen kann. Lg
|
|
|
| |
|
Hi!
> danke :), das ist dann ja schonmal beruhigend.
> Hmm ich wollte auch erst die Nullstellen in die Form
> [mm]z=re^{i*\phi}[/mm] bringen und habe berechnet, zB für [mm]x_1,[/mm] dass
> [mm]x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\wurzel{3}}{2}i[/mm] und auch Betrag 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Den Winkel bekommst du über die Betrachtung des Tangens.
Stelle dir deine komplexe Zahl mal in der komplexen Zahlenebene vor.
[mm]tan(\phi)=\frac{y}{x}=\[\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} =-\sqrt{3}[/mm]
[mm][/mm]
Nun musst du allerdings noch [mm] $\pi$ [/mm] dazuaddieren, da dein Realteil negativ ist. Warum das so ist, kannst du hier nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
Also:
[mm]\phi=arctan({-\sqrt{3}})+\red{\pi}=\frac{\pi}{3}+\red{\pi}=\frac{2}{3}\pi[/mm]
Valerie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mo 16.07.2012 | | Autor: | drossel |
ah achso okay, dann habe ich mir nurnoch ein paar Werte vom arctan zu merken und das, was da noch bei Wikipedia steht, wie das mit dem hinzuaaddieren ist. Mit dem arctan finde ich angenehmer danke! Habe noch eine letzte Frage: Gibt es irgendeine Möglichkeit, wie man sich so Werte vom arctan (vll auch vom arccos, arcsin) merken kann, bzw. wie man da irgentwelche Werte ausrechnet, wenn man keinen Rechner zur Hand nehmen darf?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du solltest genau wissen, wie die Sinusfunktion aussieht.
Wo sind ihre Nullstellen, wie ist ihre Symmetrie.
Dann solltest Du die Werte des sin für x=0°, 30°, 45°, 60°, 90° wissen.
Mit diesem Wissen kennst Du dann auch den arcsin von einigen gern genommenen Werte.
Damit bekommst auch, ohne Dir zusätzlich was zu merken, die Werte für sin(-x), sin(90°+x), sin(180°+x) und natürlich sin(360°+x). (Ich guck' dann immer auf einer selbstgemalten Skizze.)
Du solltest wissen, wie die cos-Funktion verläuft, ihre Symmetrieeigenschaften kennen und wissen, wie sie aus der sin-Funktion hervorgeht.
Damit kennst Du dann auch die Werte des cos für x=0°, 30°, 45°, 60°, 90° und kannst Dir mit den Eigenschaften des cos noch weitere erobern.
Wenn Du das weißt, weißt Du auch, was tan(x) für x=0°, 30°, 45°, 60°, 90° ist, und damit kennst Du auch den arctan einiger typischer Werte.
Für alles, was darüberhinausgeht, wirst Du in der Klausur die benötigten Informationen bekommen, entweder mit einer kl. Tabelle, oder indem die benötigten Funktionwerte als Anhang zur Aufgabenstellung mitgeteilt werden. sin(75°) mußt Du nicht im Kopf haben. Du solltest aber (Skizze der Funktion) feststellen können, ob der Wert pos. oder neg. ist.
LG Angela
|
|
|
|
