Überall Differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Funktion überall differenzierbar ist. |
Hallo Zusammen.
Kann mir jemand kurz erklären wie ich zeige, dass eine Funktion überall differenzierbar ist?
Das heisst doch, dass Sie in jedem Punkt stetig ist, was wiederum bedeutet, dass ich für jeden Punkt, den ich in die Ableitung f'(x) einsetze einen Wert bekommen muss (=Steigung der Tagente an diesem Punkt). Ist das soweit korrekt?
Wie zeige ich dies nun, dass ich für alle Punkte einen "korrekten" Wert erhalte?
Nehmen wir an f(x) = [mm] x^{2} [/mm] dann ist f'{x} = 2x
Vielen Dank und Gruss
Franhu
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Hallo Franhu,
> Zeigen Sie, dass eine Funktion überall differenzierbar
> ist.
> Hallo Zusammen.
>
> Kann mir jemand kurz erklären wie ich zeige, dass eine
> Funktion überall differenzierbar ist?
>
> Das heisst doch, dass Sie in jedem Punkt stetig ist,
Das würde aus der Differenzierbarkeit folgen ...
> was
> wiederum bedeutet, dass ich für jeden Punkt, den ich in
> die Ableitung f'(x) einsetze einen Wert bekommen muss
> (=Steigung der Tagente an diesem Punkt). Ist das soweit
> korrekt?
Verstehe ich nicht ...
>
> Wie zeige ich dies nun, dass ich für alle Punkte einen
> "korrekten" Wert erhalte?
Du musst zeigen, dass für jedes [mm]x_0[/mm] aus dem Definitionsbereich
[mm]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] existiert.
Dieser Limes wird dann [mm]f'(x_0)[/mm] genannt.
Alternativ gibt es die "h-Methode"
[mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm].
Existiert dieser Limes, so ist er [mm] $f'(x_0)$
[/mm]
>
> Nehmen wir an f(x) = [mm]x^{2}[/mm] dann ist f'{x} = 2x
Schauen wir das mal an. Der Definitionsbereich ist [mm]\IR[/mm]
Wir nehmen also bel. [mm]x_0\in\IR[/mm] her und schauen uns [mm]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] an:
Das ist [mm]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}(x+x_0)=2x_0=f'(x_0)[/mm]
Passt also zu deiner obigen Aussage, dass [mm]f'(x)=2x[/mm] ist.
>
> Vielen Dank und Gruss
>
> Franhu
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Danke für die ausführliche Antwort!
Das heisst falls ich mit der h-Formel auf einen "endlichen Wert" (falls ich das so sagen kann) komme existiert der Grenwert und falls [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] bekomme existiert der Grenzwert nicht? oder falls ich irgendetwas / 0 bekomme?
Gruss und Danke
Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mi 06.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst für einen beliebigen Punkt [mm] x_0 [/mm] zeigen, dass die Ableitung, d.h. der Grenzwert des Differenzenquotienten - du nennst das h- Formel- existiert. und existieren heisst, dass man einen und nur einen endlichen Zahlenwert, abhängig von [mm] x_0 [/mm] angeben kann
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ok. Vielen Dank.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Franhu |
Ich bin nun etwas verwirrt... Bei einer unserer Übungen steht:
Zeigen Sie, dass die Funktion
h: [mm] \IR\to\IR, h(x)=\begin{cases} x^{2}cos(\bruch{1}{x}), & x \in \IR \setminus \{0\}\\ 0, & x=0 \end{cases}
[/mm]
(Edit by Marcel. Hinweis: Mengenklammern in Formeln mit vorangegangenem Backslash
schreiben!)
überall differenzierbar ist, und bestimmen sie ihre Ableitung.
Das ist ja fast das gleiche? Zuerst setze ich das ganze in die h-Formel ein und vereinfache und komme schlussendlich auf die Ableitung?
Gruss Franhu
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Hallo nochmal,
> Ich bin nun etwas verwirrt... Bei einer unserer Übungen
> steht:
>
> Zeigen Sie, dass die Funktion
>
> h: [mm]\IR\to\IR, h(x)=\begin{cases} x^{2}cos(\bruch{1}{x}), & x \in \IR \setminus {0}\\
0, & x=0 \end{cases}[/mm]
>
> überall differenzierbar ist, und bestimmen sie ihre
> Ableitung.
>
> Das ist ja fast das gleiche? Zuerst setze ich das ganze in
> die h-Formel ein und vereinfache und komme schlussendlich
> auf die Ableitung?
Naja, außerhalb von [mm] $x_0=0$ [/mm] ist die Funktion als Produkt diffbarer Funktionen diffbar.
Die Ableitung kannst du für [mm] $x\neq [/mm] 0$ mit Produkt- und Kettenregal bestimmen.
Es gilt hier allein die kritische Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] zu untersuchen.
Zeige, dass $f'(0)$ existiert. Nutze den Differenzenquotienten ...
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> Gruss Franhu
>
Gruß
schachuzipus
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