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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 14.01.2009 | | Autor: | djd92l |
| Aufgabe | $B := [mm] \pmat{v_1 = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, v_2 = \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, v_3 = \vektor{1 \\ 1 \\ 1}}$ [/mm] und
$B' := [mm] \pmat{w_1 = \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, w_2 = \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, w_3 = \vektor{3 \\ -1 \\ 1}}$
[/mm]
sind geordnete Basen von $V := [mm] \IR^3$ [/mm] .
Sei [mm] $\gamma_A [/mm] : \ [mm] \IR^3 \to \IR^3; [/mm] \ [mm] \gamma(x) [/mm] := A*x$ mit $A := [mm] \pmat{1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3}$ [/mm] .
Gesucht: Übergangsmatrix [mm] $_B[\gamma_A]_{B'}$ [/mm] . |
Hallo,
das aufstellen der Matrix selbst war kein Problem (wenn ich es richtig gemacht habe):
Erst mal muss man das Bild eines jeden Basisvektors aus $B$ als Linearkombination von Vektoren aus $B'$ darstellen:
[mm] $\gamma(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] 2*w_1+1*w_2+0*w_3$
[/mm]
[mm] $\gamma(\vektor{1 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 1} [/mm] = [mm] 1*w_1+3*w_2+0*w_3$
[/mm]
[mm] $\gamma(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 4} [/mm] = [mm] 4*w_1+1*w_2+0*w_3$
[/mm]
Jetzt schreibt man die Koeffizienten in die Matrix:
[mm] $\Rightarrow [/mm] \ \ [mm] _B[\gamma_A]_{B'} [/mm] = [mm] \pmat{2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Wenn diese Matrix tatsächlich die Übergangsmatrix ist, soll man ja jeden Vektor aus der Bildmenge (bezüglich der Basis $B$) so darstellen können:
[mm] $\gamma(v) [/mm] = A * v$
und [mm] $\gamma(v)$ [/mm] soll dann ein Vektor bezüglich der Basis $B'$ sein.
Ist das so richtig?
Viele Grüße und schon mal danke!
- djd92l
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Webseiten gestellt!)
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> [mm]B := \pmat{v_1 = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, v_2 = \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, v_3 = \vektor{1 \\ 1 \\ 1}}[/mm]
> und
> [mm]B' := \pmat{w_1 = \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, w_2 = \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, w_3 = \vektor{3 \\ -1 \\ 1}}[/mm]
>
> sind geordnete Basen von [mm]V := \IR^3[/mm] .
>
> Sei [mm]\gamma_A : \ \IR^3 \to \IR^3; \ \gamma(x) := A*x[/mm] mit
> [mm]A := \pmat{1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3}[/mm] .
>
> Gesucht: Übergangsmatrix [mm]_B[\gamma_A]_{B'}[/mm] .
> Hallo,
>
> das aufstellen der Matrix selbst war kein Problem (wenn ich
> es richtig gemacht habe):
>
> Erst mal muss man das Bild eines jeden Basisvektors aus [mm]B[/mm]
> als Linearkombination von Vektoren aus [mm]B'[/mm] darstellen:
>
> [mm]\gamma(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) = \vektor{1 \\ 1 \\ 2} = 2*w_1+1*w_2+0*w_3[/mm]
>
> [mm]\gamma(\vektor{1 \\ 1 \\ 0}) = \vektor{-2 \\ 3 \\ 1} = 1*w_1+3*w_2+0*w_3[/mm]
>
> [mm]\gamma(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) = \vektor{3 \\ 1 \\ 4} = 4*w_1+1*w_2+0*w_3[/mm]
>
> Jetzt schreibt man die Koeffizienten in die Matrix:
>
> [mm]\Rightarrow \ \ _B[\gamma_A]_{B'} = \pmat{2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts, die Vorgehensweise ist richtig, wenn Du die Matrix suchst, die Dir zu Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, deren Bild unter der Abbildung [mm] \gamma [/mm] in Koordinaten bzgl B' liefert, suchst, in "meiner" Schreibweise wäre das die Matrix [mm] _{B'}M(\gamma)_{B}.
[/mm]
Wenn Eure Bezeichnungen so gemeint sind wie meine hast Du somit die falsche Matrix bestimmt. Es soll bei Dir die Startbasis ja B' sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 15.01.2009 | | Autor: | djd92l |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort. :)
> nachgerechnet habe ich nichts, die Vorgehensweise ist
> richtig
Das ist schon mal gut!
> Wenn Eure Bezeichnungen so gemeint sind wie meine hast Du
> somit die falsche Matrix bestimmt. Es soll bei Dir die
> Startbasis ja B' sein.
$PLATZHALTER$ bezeichnet die Matrix, um ein Element aus der Urbildmenge bzgl. der Basis $B$ auf ein Element der Bildmenge bzgl. der Basis $B'$ abzubilden.
Mit
$PLATZHALTER = [mm] _B[\gamma_A]_{B'}$ [/mm] oder
$PLATZHALTER = [mm] _{B'}[\gamma_A]_{B}$ [/mm] .
Ist jetzt das tiefergestellte, was vor dem [mm] $\gamma$ [/mm] steht, die "Quell-Basis" oder die "Ziel-Basis" ?
Gilt [mm] $_{B(')}[\gamma_A]_{B(')} [/mm] \ * \ [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \overrightarrow{w}$ [/mm] mit
$v [mm] \in [/mm] Urbildmenge$ bzgl. Basis $B$ und
$w [mm] \in [/mm] Bildmenge$ bzgl. Basis $B'$ ?
Gruß,
- djd92l
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die Antwort. :)
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> > nachgerechnet habe ich nichts, die Vorgehensweise ist
> > richtig
>
> Das ist schon mal gut!
>
> > Wenn Eure Bezeichnungen so gemeint sind wie meine hast Du
> > somit die falsche Matrix bestimmt. Es soll bei Dir die
> > Startbasis ja B' sein.
>
> [mm]PLATZHALTER[/mm] bezeichnet die Matrix, um ein Element aus der
> Urbildmenge bzgl. der Basis [mm]B[/mm] auf ein Element der Bildmenge
> bzgl. der Basis [mm]B'[/mm] abzubilden.
>
> Mit
> [mm]PLATZHALTER = _B[\gamma_A]_{B'}[/mm] oder
> [mm]PLATZHALTER = _{B'}[\gamma_A]_{B}[/mm] .
> Ist jetzt das tiefergestellte, was vor dem [mm]\gamma[/mm] steht,
> die "Quell-Basis" oder die "Ziel-Basis" ?
Hallo,
das, was rechts steht, also dort, wo der Vektor dann heranmultipliziert wird, ist die Quellbasis.
Wenn Du Dir das von rechts nach links anguckst, erklärt es sich nahezu selbstredend:
die Matrix wird rechts mit einem Vektor in Quellkoordinaten gefüttert, durch Multiplikation wird das Bild berechnet, und hinten (also links) raus kommen Vektoren in Zielkoordinaten.
Also: Matrix = Goldesel, welcher nach rechts schaut.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 15.01.2009 | | Autor: | djd92l |
Hey,
das ist eine coole Erklärung, vielen Dank!! :)
Also ich hätte stumpf in der Ursprungsaufabe die Vektoren der Basis B' mit linearkombinationen der Basis B darstellen müssen? :)
Ich denke, dann habe ich es verstanden!!
Vielen Dank!
- djd92l
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> Hey,
>
> das ist eine coole Erklärung, vielen Dank!! :)
>
> Also ich hätte stumpf in der Ursprungsaufabe die Vektoren
> der Basis B' mit linearkombinationen der Basis B darstellen
> müssen? :)
Hallo,
die Bilder von der Vektoren von B' hättest Du als Linearkombination der Vektoren von b darstellen müssen.
>
> Ich denke, dann habe ich es verstanden!!
Gut.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank!
>
> - djd92l
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Do 15.01.2009 | | Autor: | djd92l |
> > Also ich hätte stumpf in der Ursprungsaufabe die Vektoren
> > der Basis B' mit linearkombinationen der Basis B darstellen
> > müssen? :)
> die Bilder von der Vektoren von B' hättest Du als
> Linearkombination der Vektoren von b darstellen müssen.
Ja, klar, ich habe mich da verschrieben! - So wollte ich das eigentlich auch schreiben.
Gruß,
djd92l
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