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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 So 30.01.2005 | | Autor: | ziska |
hallihallo!
ich mal wieder. sitzt schon seit ner knappen woche an folgenden aufgaben. teilweise habe ich diese auch rausbekommen und hab eigentlich auch ansätze für die lösungen gefunden, komme aber irgendwie net weiter.
aufgabe:
ein tetraeder werde von den Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] aufgespannt. Die Punkte [mm] M_a [/mm] , [mm] M_b [/mm] , [mm] M_c [/mm] seien die Mittelpunkte der Strecken OA, OB, OC (anm:also jeweils die Hälfte der richtungsvektoren) ;
[mm] M_1 [/mm] , [mm] M_2 [/mm] , [mm] M_3 [/mm] seien die Mittelpunkte der Strecken AB, BC, CA .
a) Ermittle Gleichungen der drei Geraden [mm] g_1 (M_a, M_2) [/mm] , [mm] g_2 (M_b [/mm] , [mm] M_3), g_3 (M_c, M_1) [/mm] !
meine Lösung: mithilfe der 2-punkteform einer Geraden habe ich folgende geraden aufgestellt:
[mm] g_1: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{x_Ma} [/mm] + t[ [mm] \vec{x_M2}- \vec{x_Ma}]
[/mm]
= 0,5 [mm] \vec{a} [/mm] + t[ 0,5 [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] - 0,5 [mm] \vec{a}] [/mm]
= 0,5 [mm] \vec{a} [/mm] + t[ 0,5 [mm] \vec{c} [/mm] - [mm] 0,5\vec{b}- 0,5\vec{a}]
[/mm]
[mm] g_2: [/mm] auf dieselbe Art und weise folgendes Ergebnis:
[mm] \vec{x} [/mm] = 0,5 [mm] \vec{b}+ [/mm] u [ 0,5 [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] 0,5\vec{c}- 0,5\vec{b}]
[/mm]
[mm] g_3: \vec{x} [/mm] = 0,5 [mm] \vec{c}+ [/mm] v [ 0,5 [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] 0,5\vec{a}- 0,5\vec{c}]
[/mm]
b) Zeige, dass die Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] sich in einem Punkt S schneiden.
mein ansatz:
Wenn die geraden sich schneiden sollen, müssen die richtungsvektoren linear unabhängig sein. so weit so gut. in dem obenliegenden fall geht das ja auch, da beide Vektoren nicht lin.abh. sind!
ich hatte allerdings letzte woche eine andere lösung und da stimmten beide richtungsvektoren dahingehend überein, dass man den einen bloß mit -1 multiplizieren musste, um den andren zu erhalten, d.h. sie sind lin.abh. gewesen. wodran liegt das? kann mir nur ein fehler unterlaufen sein?
c) In welchem Verhältnis teilt S die Strecken [mm] M_a M_2 [/mm] und [mm] M_b M_3 [/mm] ?
Der Lösungsweg ist mir zu lang aufzuschreiben, aber das ergebnis ist:
S halbiert diese Strecken.
d) untersuche, ob S auch auf der Geraden [mm] g_3 [/mm] liegt! Zeige, dass für den Vektor [mm] \vec{s} [/mm] zum Pfeil [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] gilt:
[mm] \vec{s}= [/mm] o,25 [mm] (\vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c} [/mm] )
bei dieser aufgabe habe für S die beschreibenden Vektoren eingesetzt.
S= 0,5 [mm] \overrightarrow{M_a M_2}
[/mm]
= 0,5 (0,5 [mm] \vec{a}- \vec{a} +\vec{b}+ 0,5(-\vec{b}+ \vec{c}))
[/mm]
= 0,5 (0,5 [mm] \vec{a}- \vec{a} +\vec{b}- 0,5\vec{b}+ [/mm] 0,5 [mm] \vec{c})
[/mm]
= 0,5 (-0,5 [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] 0,5\vec{b} [/mm] + 0,5 [mm] \vec{c})
[/mm]
Das hab ich dann bei [mm] g_3 [/mm] anstatt [mm] \vec{x} [/mm] eingesetzt, komme aber zu keinem Ergebnis.
Den zweiten teil der aufgabe versteh ich nicht bzw. hab keinerlei ansätze dafür!
ich hoffe, ihr könnt mir (wieder einmal) weiterhelfen. ein liebes dankeschön im voraus!!!
GGLG,
ziska
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 So 30.01.2005 | | Autor: | Onkelralfi |
Hi ziska.
ich blick da nicht so ganz durch.
also du hast den vektor s. und sollst kontrolieren ob der vektor auf de rgeraden liegt:
[mm] g_3: \vec{x} [/mm] = 0,5 [mm] \vec{c}+ [/mm] v [ 0,5 [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] 0,5\vec{a}- 0,5\vec{c}] [/mm]
das kannst du durch gleichsetzen oder komplimerntäres einsetzen erreichen.
so dann:
[mm] \vec{s}= [/mm] o,25 [mm] (\vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c} [/mm] )
das zu zeigen ist auch nicht so schwer.
es ist zu überprüfen ob vektor s durch die anderen drei vektoren ausdrückbar ist.
du nimmst den vektor a mal 0,25+wektor b*0,25 vektor c*0,25 und zeigst das das den vektor s ergibt. dann bist du fertig:)
(mir ist jetzt nicht ganz klar woher, irgendwie ist das komish aufgeschrieben tut mir leid.wenn du sie hast schreib sie bitte mal.)
das ist eigendlich schon alles was die aufgabe will.
(also schreibe bitte mal Vektor a= , vektor b= , vektor c= und vektor s= )
dann kann ich dir weiterhelfen.
bye Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:42 Di 01.02.2005 | | Autor: | ziska |
hallo!
DIe aufgabe ist so gegeben, wie ich sie aufgeschrieben hab! Für Vektor a, b und c sind keine werte gegeben! sonst fiele mir das auch sicher leichter!!!
trotzdem danke für deine bemühungen!!! Die aufgabe hab ich jetzt so weit berechnen können....
GLG,
ziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 So 30.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Franziska
weil sich bereits in Teilaufgabe a) ein Fehler eingeschlichen hat, kommst du vielleicht nicht weiter?
Ich korrigiere also einfach einmal Teilaufgabe a) und zeige dir Teilaufgabe b)
Dann kommst du evtl selber wieder weiter.
Falls nicht, dann meldest du dich einfach wieder, ja? 
> ein Tetraeder werde von den Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm]
> und [mm]\vec{c}[/mm] aufgespannt. Die Punkte [mm]M_a[/mm] , [mm]M_b[/mm] und [mm]M_c[/mm] seien
> die Mittelpunkte der Strecken OA, OB, OC;
> [mm]M_1[/mm] , [mm]M_2[/mm] , [mm]M_3[/mm] seien die Mittelpunkte der Strecken AB, BC,
> CA .
>
> a) Ermittle Gleichungen der drei Geraden [mm]g_1 (M_a, M_2)[/mm] ,
> [mm]g_2 (M_b[/mm] , [mm]M_3), g_3 (M_c, M_1)[/mm] !
> meine Lösung: mithilfe der 2-punkteform einer Geraden
> habe ich folgende geraden aufgestellt:
> [mm]g_1: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{x_Ma}[/mm] + t[ [mm]\vec{x_M2}- \vec{x_Ma}]
[/mm]
>
> = 0,5 [mm]\vec{a}[/mm] + t[ 0,5
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] - 0,5 [mm]\vec{a}][/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht!
Korrekt ist:
[mm] $=\bruch{1}{2}\vec{a}+ t(\vec{b}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC}-\bruch{1}{2}\vec{a})$
[/mm]
und dann weiter:
[mm] $=\bruch{1}{2}\vec{a}+ t(\bruch{1}{2}\vec{b}+\bruch{1}{2}(\vec{c}-\vec{b})-\bruch{1}{2}\vec{a})=\bruch{1}{2}\vec{a}+ t(\bruch{1}{2}\vec{b}+\bruch{1}{2}\vec{c}-\bruch{1}{2}\vec{a})$
[/mm]
Weil der Richtungsvektor einer Geradengleichung beliebige Länge haben darf, einzig die Richtng muss stimmen, würde ich den noch mit $2_$ multiplizieren und erhielte:
[mm] $g_1: \vec{x}=\bruch{1}{2}\vec{a}+t(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})$
[/mm]
[mm] $g_2$ [/mm] kann einfach durch Vertauschen der Vektoren aus [mm] $g_1$ [/mm] hergeleitet werden (Symmetrie)
[mm] $g_2: \vec{x}=\bruch{1}{2}\vec{b}+u(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$
[/mm]
[mm] $g_3: \vec{x}=\bruch{1}{2}\vec{c}+v(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})$
[/mm]
> b) Zeige, dass die Geraden [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] sich in einem Punkt
> S schneiden.
> mein ansatz:
> Wenn die geraden sich schneiden sollen, müssen die
> richtungsvektoren linear unabhängig sein. so weit so gut.
> in dem obenliegenden fall geht das ja auch, da beide
> Vektoren nicht lin.abh. sind!
> ich hatte allerdings letzte woche eine andere lösung und da
> stimmten beide richtungsvektoren dahingehend überein, dass
> man den einen bloß mit -1 multiplizieren musste, um den
> andren zu erhalten, d.h. sie sind lin.abh. gewesen. wodran
> liegt das? kann mir nur ein fehler unterlaufen sein?
>
Ja, da muss irgend ein Fehler vorliegen. 
Hier kann man einfach so überlegen: wenn sich die beiden Geraden schneiden, dann muss es ein bestimmtes $t_$ und ein dazugehöriges $u_$ geben, so dass der gleiche Punkt erreicht wird, wenn man dieses $t_$ in [mm] $g_1$ [/mm] einsetzt und dieses $u_$ in [mm] $g_2$ [/mm] einsetzt.
Wenn man die Gleichungen für [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] noch etwas umschreibt:
[mm] $g_1: \vec{x}=(\bruch{1}{2}-t)\vec{a}+t\vec{b}+t\vec{c}$ [/mm]
[mm] $g_2: \vec{x}=u\vec{a}+(\bruch{1}{2}-u)\vec{b}+u\vec{c}$
[/mm]
dann kann man einfach die Komponenten einzeln vergleichen (das darf man, weil ja [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$ [/mm] linear unabhängig sind).
Es gilt also:
[mm] $\bruch{1}{2}-t=u$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}-u=t$
[/mm]
$t=u$
Dies lässt sich in der Tat nach $t_$ und $u_$ auflösen (das ist nicht selbstverständlich, weil das Gleichungssystem ja überbestimmt ist):
[mm] $t=\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $u=\bruch{1}{4}$
[/mm]
Das kannst du bei [mm] $g_1$ [/mm] oder bei [mm] $g_2$ [/mm] einsetzen, und in beiden Fällen bekommst du:
[mm] $\vec{s}=\bruch{\vec{a}}{4}+\bruch{\vec{b}}{4}+\bruch{\vec{c}}{4}$
[/mm]
So, liebe Franziska, versuche nun bitte, die anderen Teilaufgaben entsprechend zu lösen. Und wie gesagt: wenn du Schwierigkeiten hast, dann meldest du dich einfach wieder!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:47 Di 01.02.2005 | | Autor: | ziska |
hallo!
> weil sich bereits in Teilaufgabe a) ein Fehler
> eingeschlichen hat, kommst du vielleicht nicht weiter?
> Das stimmt nicht!
>
> Korrekt ist:
> [mm]=\bruch{1}{2}\vec{a}+ t(\vec{b}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC}-\bruch{1}{2}\vec{a})[/mm]
okay, ich hab mir deine lösung gut durchgelesen und sie mit meiner verglichen, aber ich find den fehler einfach net.....
Bei der aufgabe d) bin ich dir sehr dankbar, hab die nun auch lösen können. zumindestens den letzteren teil. den teil, wo man zeigen soll, das S auf [mm] g_3 [/mm] liegt, hab ich net verstanden. hab aber zwei freistunden und besprech das dann mit ner freundin.
Trotzdem DANKE!!!!
LG,
ziska
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Di 01.02.2005 | | Autor: | ziska |
da bin ich wieder. hab keine möglichkeit gefunden, meine frage aufzuheben, deswegen schreibe ich diese mitteilung! die probleme haben sich gelöst!
danke trotzdem!!!
LG,
ziska
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