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| Aufgabe | | Eine Exponentialfunktion wie [mm] 2^x [/mm] überholt im Positiven irgendwann jede Potenz [mm] x^n. [/mm] Bestimmen Sie die Überholstelle für n=5 und n=6! |
Guten Tag,
ich soll diese Aufgabe für meinen Mathekurs lösen, jedoch komme ich einfach nicht auf das Ergebnis ( x ist ca. 21 [ für n=5 ]). Als Ansatz habe ich die Gleichung:
[mm] 2^x [/mm] = [mm] x^5 [/mm] ,gewählt. Jedoch bekomme ich beim Auflösen dieser Gleichung ziemliche Probleme. Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich besser an diese Aufgabe ranngehe um auf das gesuchte Ergebnis zu kommen? Ich wäre für jeden Tipp sehr dankbar!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße Michi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Eine Exponentialfunktion wie [mm]2^x[/mm] überholt im Positiven
> irgendwann jede Potenz [mm]x^n.[/mm] Bestimmen Sie die
> Überholstelle für n=5 und n=6!
> Guten Tag,
>
> ich soll diese Aufgabe für meinen Mathekurs lösen, jedoch
> komme ich einfach nicht auf das Ergebnis ( x ist ca. 21 [
> für n=5 ]). Als Ansatz habe ich die Gleichung:
>
> [mm]2^x[/mm] = [mm]x^5[/mm] ,gewählt. Jedoch bekomme ich beim Auflösen
> dieser Gleichung ziemliche Probleme. Kann mir jemand einen
> Tipp geben wie ich besser an diese Aufgabe ranngehe um auf
> das gesuchte Ergebnis zu kommen? Ich wäre für jeden Tipp
> sehr dankbar!!!
Das Problem ist, dass du diese Gleichung nicht so einfach analytisch lösen kannst.
[mm] 2^x=x^5
[/mm]
[mm] \Rightarrow x*\ln(2)=5*\ln(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{x}{\ln(x)}=\frac{5}{\ln(2)}
[/mm]
Brauchst du auch nicht, denn deine eigentliche Aufgabe ist nun:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] existiert ein [mm] N_1\in\IN, [/mm] sodass gilt:
[mm] \frac{n}{\ln(n)}>\frac{5}{\ln(2)} [/mm] für alle [mm] $n>N_1$
[/mm]
Mit [mm] N_1:=22 [/mm] folgt die Lösung, denn für [mm] n=23>N_1=22 [/mm] gilt die Behauptung.
Um das zu zeigen, könntest du zum Beispiel das Newton-Verfahren benutzen.
Also betrachte:
[mm] \phi(n)=\frac{n}{\ln(n)}-\frac{5}{\ln(2)}=0
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Grüße Michi
Ich lasse die Frage mal auf teilweise beantwortet.
Vielleicht gibt es doch eine schulmathematisch-analytische Lösung, die mir nicht einfällt.
Obwohl ich denke, dass man das Newton-Verfahren durchaus auch in der Schule macht.
Jedenfalls war es bei mir so vor drei Jahren.
Das ![[]](/images/popup.gif) Newton-Verfahren ist sehr simpel.
Falls du dazu fragen hast, kannst du sie ruhig stellen 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich habe es gerade getestet mit Newton.
Wenn du es schön anschaulich machen willst, dann wähle als Startwert [mm] x_0=3, [/mm] dann folgt:
x = 57.865976734980286
x = 19.923463119194558
x = 22.41461541128096
x = 22.440003248606853
x = 22.440005680060164
x = 22.44000568006019
x = 22.440005680060185
Gruß
DieAcht
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Hallo Michi,
es gibt nur eine Möglichkeit, das analytisch aufzulösen, nämlich über die Lambertsche W-Funktion. Ich bin sehr sicher, dass das niemand von Dir verlangt.
Gib mal bei WolframAlpha "solve [mm] 2^x=x^5" [/mm] ein, da bekommst Du die Lösung und die nötigen Links serviert, wenn es Dich interessiert.
Ansonsten ist ein numerisches Vorgehen hier völlig hinreichend, entweder z.B. mit Excel und einer Intervallschachtelung, oder eben gezielter mit Newton - das ist ein ausgezeichneter Vorschlag.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 So 19.01.2014 | | Autor: | Michi_234 |
Super viele Dank ihr 2!!! Ihr habt mir wirklich sehr geholfen!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:06 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Michi_234 |
| Aufgabe | | Eine Exponentialfunktion wie $ [mm] 2^x [/mm] überholt im Positiven irgendwann jede Potenz [mm] x^n. [/mm] Bestimmen Sie die Überholstelle für n=5 und n=6! |
Guten Tag,
ich soll diese Aufgabe für meinen Mathekurs lösen. Ich habe den Tipp bekommen diese Aufgabe über die Lamertsche W Funktion zu lösen. Dazu habe ich ( im Fall n=5 ) durch geeignet Umformung und Substitution die Funktioen auf folgende Form gebracht:
[mm] z*e^z [/mm] = -ln(2) / 5 . Nun kann ich ja die Lambertsche W Funktion anweden. Mein Problem ist jetzt aber, dass ich nicht so recht verstehe, wie ich jetzt auf diese komme. Ich hab es bei Wolfram Alpha eingetippt, da kommt dann:
x = -(5W(-ln(2)/5))/ln(2) = 1,17728 und
x = -(5 W_(-1)(-(log(2))/5))/(log(2)) = 22.44 .
Ich verstehe aber überhaupt nicht wie man darauf kommt ohne es mit Wolfram zu lösen, bzw was die W-Funktion überhaupt macht. Kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?
Vielen Dank schonmal,
Gruß Michi_234
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Was ist dein mathematischer Background?
Woher stammt der Tipp genau?
Exakt die Gleiche Aufgabe wurde hier gestellt.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Michi_234 |
Ja genau die Frage dort war genau von mir :) Und den Tipp hatte ich von dir :). Habe das meinem Tutort so gezeigt und er fand das total faszinierend, dass das auch auf diese Art und Weise geht ( er wollte es eigentlich nur geplottet haben ). Naja auf jeden fall hat ihn diese Art es zu lösen neugierig gemacht und er würde gern genaures über die W Funktion und meinen Rechenweg wissen und hat mich gebeten dies in Erfahrung zu bringen, wenn es mir denn möglich ist. Daher habe ich diesen Topic mit einem neuen Diskussionsthema eröffnet.
Gruß Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Stimmt, den gleichen Namen habe ich nicht bedacht.
Die analytische Lösung durch die lambertsche W-Funktion
hattest du übrigens von reverend und nicht von mir.
Ich kann dir dazu aber nicht viel sagen und habe deine Frage auf teilweise beantwortet gesetzt.
Nächstes mal kannst du ruhig deinen alten Thread mit einer neuer Frage eröffnen.
Viel Glück!
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Die analytische Lösung durch die lambertsche W-Funktion
Eine Lösung per LambertW-Funktion kann man aber nicht mehr ernsthaft als analytisch bezeichnen!
Gruß, Diophant
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