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| Aufgabe | | Ist p : Y → X eine Überlagerung und ist X zusammenhängend, so haben alle Fasern die gleiche Mächtigkeit. |
Hallo zusammen,
ich stehe vor dieser Aufgabe und ich habe keinen Ansatz.
Mein Vorgehen wäre so: Ich nehme mir einen Punkt x in X und nehme an die dazugehörende Faser hat die Mächtigkeit n.
Ich sehe mir eine Umlagerung von x an. Dann ist für eine Umgebung U von x:
[mm] p^{-1}(U)=\cup V_{i} [/mm] für disjunkte [mm] V_{i}, [/mm] die einzeln homöomorph zu U sind.
Und jetzt muss doch der Zusammenhang eine Rolle spielen!? Denn Homöomorphie erhält den Zusammenhang.
Wenn [mm] p^{-1}(x) [/mm] k Elemente hat müssen die in den verschiedenen Blättern sein, sonst hätten wir keine Homöomorphie (Injektivität).
Aber wie geht's weiter? Das waren nur Ideen. Könnte mir bitte jemand den Weg weisen?
Vielen Dank
Gorky Park
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mo 07.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Mein Vorgehen wäre so: Ich nehme mir einen Punkt x in X und
> nehme an die dazugehörende Faser hat die Mächtigkeit n.
Solange du mit n keine natürliche Zahl meinst, ist alles okay.
Welchen Zusammenhang betrachtet ihr hier? Also ich habe jedenfalls etwas für Wegzusammenhang: seine p und q zwei Punkte, pf ein Pfad von p nach q. Mit diesen Pfad (bzw. seiner Umkehrung von q nach p) erhält man eine injektive Abbildung der Faser von p nach q (bzw. q nach p). Dann sind die Fasern Gleichmächtig - nach ![[]](/images/popup.gif) Schröder-Bernstein - wusste gar nicht, dass mir der Satz noch einfiel :).
Mir fällt da was ein: die Mächtigkeit der Faser ist eine offene Eigenschaft, dh mit x haben alle y in einer Umgebung dieselbe Eigenschaft: das die Faser gleiche Mächtigkeit haben (wegen eben der Überlagerungseigenschaft). Hm, also: sei m eine Mächtigkeit. Ist x Punkt zu Faser, dann auch alle in der Umgebung. Ist y nicht zur Mächtigkeit m, dann auch alle in der Umgebung. Dh die Bedingung ist abgeschlossen und offen (bzw. lokal konstant), also auf zusammenhängenden Mengen gleich.
SEcki
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Hallo!
Und danke erstmal für die Antwort.
> Welchen Zusammenhang betrachtet ihr hier? Also ich habe
> jedenfalls etwas für Wegzusammenhang: seine p und q zwei
> Punkte, pf ein Pfad von p nach q. Mit diesen Pfad (bzw.
> seiner Umkehrung von q nach p) erhält man eine injektive
> Abbildung der Faser von p nach q (bzw. q nach p). Dann sind
> die Fasern Gleichmächtig - nach
> Schröder-Bernstein
> - wusste gar nicht, dass mir der Satz noch einfiel :).
Also wir sind mitten in den Überlagerungen und den Hochhebungen, von der Mengentheorie weit entfernt :D
> Mir fällt da was ein: die Mächtigkeit der Faser ist eine
> offene Eigenschaft, dh mit x haben alle y in einer Umgebung
> dieselbe Eigenschaft: das die Faser gleiche Mächtigkeit
> haben (wegen eben der Überlagerungseigenschaft). Hm, also:
> sei m eine Mächtigkeit. Ist x Punkt zu Faser, dann auch
> alle in der Umgebung. Ist y nicht zur Mächtigkeit m, dann
> auch alle in der Umgebung. Dh die Bedingung ist
> abgeschlossen und offen (bzw. lokal konstant), also auf
> zusammenhängenden Mengen gleich.
Zwei Fragen habe ich da noch: Wieso gilt diese "offene Eigenschaft" (wieso wegen der Überlagerung)? Und warum ist diese Bedingung offen und abgeschlossen?
Bis bald und Danke!!
Gorky
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 07.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Also wir sind mitten in den Überlagerungen und den
> Hochhebungen, von der Mengentheorie weit entfernt :D
Pff.
> Zwei Fragen habe ich da noch: Wieso gilt diese "offene
> Eigenschaft" (wieso wegen der Überlagerung)? Und warum ist
> diese Bedingung offen und abgeschlossen?
Sagen wir anders, ich präzesiere: diese Eigenschaft ist lokal konstant. Das heisst: für jedes x gibt es eine offene Umgebung V auf der für alle y dieser Menge V die gleiche Eigenschaft gilt. Jetzt ist dann also die Menge, wo die Eigenschaft gilt offen. Das Komplement, also wo die Eigenschaft nicht gilt, aber auch. Also ist die Menge offen und abgeschlossen. Details musst du mal versuchen, einzufüllen.
Und natürlich solltest du auch zeigen, dass dies eben lokal konstant ist.
SEcki
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