Überlagerung, Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Di 09.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum!
In diesem Thread würde ich gerne etwas über die Überlagerung elementarer Funktionen in Erfahrung bringen.
Speziell geht es mir darum herauszufinden, wie man von der Konstanten Funktion [mm] \pi, [/mm] mit [mm] t\in[2\pi,3\pi) [/mm] in der oberen Zeichnung, auf die grüne bzw. auf die grün-rote Funktion in der unteren Zeichnung gelangt. Die Herkunft aller anderen Funktionen ist bereits geklärt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wieso verwendet man für die Überlagerung nicht die Konstante Funktion [mm] -\pi, [/mm] mit [mm] t\in[3\pi,\infty]? [/mm] Das würde doch die ursprüngliche Funktion neutralisieren, bis eben auf das gewünschte Intervall von [mm] [2\pi,3\pi).
[/mm]
Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich freuen.
Gruß, Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Die erste lin. Funktion liefert doch immer größer werdende Beiträge, wäre der zweite Term konstant und [mm] =-\pi [/mm] , würde er den Verlauf der gesamten restlichen Funktion nach unten ziehen. Du hättest dann wieder ein Funktionsstück, das an der x-Achse anfängt.
Mathematisch: Die erste lin. Funktion ist [mm] t*\pi-\pi [/mm] . Ist die zweite Funktion nur [mm] -\pi, [/mm] erhälst du im mittleren Bereich [mm] t*\pi-2\pi [/mm] , also auch eine weiter ansteigende Funktion. Addierst du stattdessen die eingezeichnete Grade [mm] 2\pi-t*\pi [/mm] , bekommst du [mm] \pi [/mm] als Ergebnis auf dem Teilstück.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 09.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Deine Überlegung kann ich nachvollziehen, löst aber nicht mein Problem. Vielleicht schildere ich mal meine bisherige Herangehensweise, damit das Problem durch die Diskussion irgendwann auftaucht:
In der oberen Skizze werden ja insgesamt 3 Funktionenteile verwendet. Das ist einmal die aufsteigende Funktion, zweitens die Konstante und drittens die cos- förmige Funktion. Dazu die erste Frage:
1.) Werden bei der Herleitung der zweiten Skizze alle Funktionen unabhängig voneinander behandelt? So bin ich bisher jedenfalls vorgegangen.
Dem Funktionsteil [mm] (t-\pi)*\sigma(t-\pi) [/mm] steht nun die "Ausschaltfunktion" [mm] (-1)*(t-2*\pi)*\sigma(t-2\pi) [/mm] gegenüber. Somit wären doch diese beiden Funktion abgehakt, oder nicht?
An dieser Stelle fahre ich zunächst mal mit dem cos-Funktionsteil fort. So würde ich den cos-Teil quasi so weit nach unten schieben, bis der Wendepunkt der Funktion genau auf der t-Achse liegt. Man hätte dann für die Funktion aus der oberen Skizze in der unteren Skizze die folgende Beschreibung: [mm] \bruch{\pi}{2}*cos(t-3\pi)*\sigma(t-3\pi). [/mm]
Dieses Signal wird ja dann durch die Funktion [mm] \bruch{\pi}{2}*cos(t-4\pi)*\sigma(t-4\pi) [/mm] ab [mm] t=4\pi [/mm] neutralisiert oder ausgeschaltet. Somit sind auch diese beiden Funktion in der Skizze zu erklären.
Kurioserweise habe ich bei einer der einfachsten Funktionen nun die größten Schwierigkeiten.
Konkret: Durch welche Überlegung gelange ich nun an die Funktion, die das konstante Signal aus der oberen Skizze ab [mm] t=3\pi [/mm] neutralisiert oder ausschaltet?
Anders: Durch welche Überlegung gelange ich an die sich überlappenden, konstanten Funktionen im negativen Bereich der unteren Skizze (grün und rot gekennzeichnet)?
Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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> Hallo!
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> Deine Überlegung kann ich nachvollziehen, löst aber nicht
> mein Problem. Vielleicht schildere ich mal meine bisherige
> Herangehensweise, damit das Problem durch die Diskussion
> irgendwann auftaucht:
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> In der oberen Skizze werden ja insgesamt 3 Funktionenteile
> verwendet. Das ist einmal die aufsteigende Funktion,
> zweitens die Konstante und drittens die cos- förmige
> Funktion. Dazu die erste Frage:
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> 1.) Werden bei der Herleitung der zweiten Skizze alle
> Funktionen unabhängig voneinander behandelt? So bin ich
> bisher jedenfalls vorgegangen.
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> Dem Funktionsteil [mm](t-\pi)*\sigma(t-\pi)[/mm] steht nun die
> "Ausschaltfunktion" [mm](-1)*(t-2*\pi)*\sigma(t-2\pi)[/mm]
> gegenüber. Somit wären doch diese beiden Funktion
> abgehakt, oder nicht?
ich kenne diese schreibweise nicht, steht [mm] \sigma [/mm] für sprung oder rampenfunktion? und was stellt dieser vorfaktor dar?
>
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> An dieser Stelle fahre ich zunächst mal mit dem
> cos-Funktionsteil fort. So würde ich den cos-Teil quasi so
> weit nach unten schieben, bis der Wendepunkt der Funktion
> genau auf der t-Achse liegt. Man hätte dann für die
> Funktion aus der oberen Skizze in der unteren Skizze die
> folgende Beschreibung:
> [mm]\bruch{\pi}{2}*cos(t-3\pi)*\sigma(t-3\pi).[/mm]
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> Dieses Signal wird ja dann durch die Funktion
> [mm]\bruch{\pi}{2}*cos(t-4\pi)*\sigma(t-4\pi)[/mm] ab [mm]t=4\pi[/mm]
> neutralisiert oder ausgeschaltet. Somit sind auch diese
> beiden Funktion in der Skizze zu erklären.
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> Kurioserweise habe ich bei einer der einfachsten Funktionen
> nun die größten Schwierigkeiten.
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> Konkret: Durch welche Überlegung gelange ich nun an die
> Funktion, die das konstante Signal aus der oberen Skizze ab
> [mm]t=3\pi[/mm] neutralisiert oder ausschaltet?
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> Anders: Durch welche Überlegung gelange ich an die sich
> überlappenden, konstanten Funktionen im negativen Bereich
> der unteren Skizze (grün und rot gekennzeichnet)?
also das gegebene signal soll ja durch eine summe von "elementaren" funktionen dargestellt werden.
die bereiche hab ich mal markiert [Dateianhang nicht öffentlich]
im bereich 1 passiert nix.
dann kommt ne rampe mit steigung 1, bei uns hätte man geschrieben
[mm] f_1=r(t-\pi)
[/mm]
danach(bereich 3) soll es konstant auf [mm] \pi [/mm] bleiben, dazu muss eine rampe addiert werden, die ab [mm] 2\pi [/mm] anfängt, und die gleiche steigung wie die erste hat, nur negativ. => [mm] f_2=-r(t-2\pi)
[/mm]
nun im 4. bereich gehts in nen cosinus-förmigen verlauf stetig über..
man kann jetzt ja nicht einfach [mm] \pi/2*cos(t)*u(t-3\pi) [/mm] addieren, sonst hättest du den blauen verlauf da in "meiner" skizze.
also muss zeitgleich der cosinus runtergezogen werden, und zwar um [mm] \pi/2
[/mm]
somit ist [mm] f_3=\pi/2*cos(t)*u(t-3\pi)-\pi/2*u(t-3\pi)
[/mm]
nun 5. bereich, die grundfunktion soll 0 bleiben.
dazu muss ein cosinus addiert werden, der um 180° bzw. [mm] \pi [/mm] phasenverschoben zum 1. cosinus ist. also [mm] \pi/2*cos(t-\pi)*u(t-4\pi).
[/mm]
das addieren würde den cosinus aufheben, aber die rot gekennzeichnete treppe (die auch veranschaulichen soll, wo [mm] -\pi [/mm] halbe herkommt) wäre immer noch konstant durchgägnig auf [mm] \pi/2. [/mm] diese muss ab [mm] 4\pi [/mm] auch noch aufgehoben werden, indem man wieder [mm] \pi/2 [/mm] abzieht. somit
[mm] f_4=\pi/2*cos(t-\pi)*u(t-4\pi)-\pi/2*u(t-4\pi)
[/mm]
hoffe mit bild und dem in eile getippten text kannst du etwas anfangen.
ps: u(t) hab ich aus gewohnheit für die sprungfunktion genommen, r für rampe
gruß tee
>
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> Vielen Dank!
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> Gruß, Marcel
>
edit: ach, und der erste cosinus muss um 90° verschoben sein, nicht der 2. (hatte doch für ne sekunde übersehen, dass der erste cosinus seinen hochpunkt ja bei [mm] 3\pi [/mm] hat und somit verschoben sein muss)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> > Hallo!
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> > Deine Überlegung kann ich nachvollziehen, löst aber nicht
> > mein Problem. Vielleicht schildere ich mal meine bisherige
> > Herangehensweise, damit das Problem durch die Diskussion
> > irgendwann auftaucht:
> >
> >
> >
> > In der oberen Skizze werden ja insgesamt 3 Funktionenteile
> > verwendet. Das ist einmal die aufsteigende Funktion,
> > zweitens die Konstante und drittens die cos- förmige
> > Funktion. Dazu die erste Frage:
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> >
> > 1.) Werden bei der Herleitung der zweiten Skizze alle
> > Funktionen unabhängig voneinander behandelt? So bin ich
> > bisher jedenfalls vorgegangen.
> >
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> >
> > Dem Funktionsteil [mm](t-\pi)*\sigma(t-\pi)[/mm] steht nun die
> > "Ausschaltfunktion" [mm](-1)*(t-2*\pi)*\sigma(t-2\pi)[/mm]
> > gegenüber. Somit wären doch diese beiden Funktion
> > abgehakt, oder nicht?
> ich kenne diese schreibweise nicht, steht [mm]\sigma[/mm] für
> sprung oder rampenfunktion? und was stellt dieser vorfaktor
> dar?
Richtig, mit [mm] \sigma(t), [/mm] bzw. u(t) stellen wir die Sprungfunktion dar. Der Vorfaktor gibt die zeitverschobene Funktion an.
> >
> >
> > An dieser Stelle fahre ich zunächst mal mit dem
> > cos-Funktionsteil fort. So würde ich den cos-Teil quasi so
> > weit nach unten schieben, bis der Wendepunkt der Funktion
> > genau auf der t-Achse liegt. Man hätte dann für die
> > Funktion aus der oberen Skizze in der unteren Skizze die
> > folgende Beschreibung:
> > [mm]\bruch{\pi}{2}*cos(t-3\pi)*\sigma(t-3\pi).[/mm]
> >
> > Dieses Signal wird ja dann durch die Funktion
> > [mm]\bruch{\pi}{2}*cos(t-4\pi)*\sigma(t-4\pi)[/mm] ab [mm]t=4\pi[/mm]
> > neutralisiert oder ausgeschaltet. Somit sind auch diese
> > beiden Funktion in der Skizze zu erklären.
> >
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> >
> > Kurioserweise habe ich bei einer der einfachsten Funktionen
> > nun die größten Schwierigkeiten.
> >
> >
> > Konkret: Durch welche Überlegung gelange ich nun an die
> > Funktion, die das konstante Signal aus der oberen Skizze ab
> > [mm]t=3\pi[/mm] neutralisiert oder ausschaltet?
> >
> > Anders: Durch welche Überlegung gelange ich an die sich
> > überlappenden, konstanten Funktionen im negativen Bereich
> > der unteren Skizze (grün und rot gekennzeichnet)?
> also das gegebene signal soll ja durch eine summe von
> "elementaren" funktionen dargestellt werden.
> die bereiche hab ich mal markiert [Dateianhang nicht öffentlich]
> im bereich 1 passiert nix.
> dann kommt ne rampe mit steigung 1, bei uns hätte man
> geschrieben
> [mm]f_1=r(t-\pi)[/mm]
> danach(bereich 3) soll es konstant auf [mm]\pi[/mm] bleiben, dazu
> muss eine rampe addiert werden, die ab [mm]2\pi[/mm] anfängt, und
> die gleiche steigung wie die erste hat, nur negativ. =>
> [mm]f_2=-r(t-2\pi)[/mm]
>
> nun im 4. bereich gehts in nen cosinus-förmigen verlauf
> stetig über..
> man kann jetzt ja nicht einfach [mm]\pi/2*cos(t)*u(t-3\pi)[/mm]
> addieren, sonst hättest du den blauen verlauf da in
> "meiner" skizze.
> also muss zeitgleich der cosinus runtergezogen werden, und
> zwar um [mm]\pi/2[/mm]
> somit ist [mm]f_3=\pi/2*cos(t)*u(t-3\pi)-\pi/2*u(t-3\pi)[/mm]
>
> nun 5. bereich, die grundfunktion soll 0 bleiben.
> dazu muss ein cosinus addiert werden, der um 180° bzw.
> [mm]\pi[/mm] phasenverschoben zum 1. cosinus ist. also
> [mm]\pi/2*cos(t-\pi)*u(t-4\pi).[/mm]
> das addieren würde den cosinus aufheben, aber die rot
> gekennzeichnete treppe (die auch veranschaulichen soll, wo
> [mm]-\pi[/mm] halbe herkommt) wäre immer noch konstant durchgägnig
> auf [mm]\pi/2.[/mm] diese muss ab [mm]4\pi[/mm] auch noch aufgehoben werden,
> indem man wieder [mm]\pi/2[/mm] abzieht. somit
> [mm]f_4=\pi/2*cos(t-\pi)*u(t-4\pi)-\pi/2*u(t-4\pi)[/mm]
Eine schöne Erklärung, vielen Dank. Es hat sich herausgestellt, dass meine generelle Herangehensweise an diese Betrachtung falsch war. Jetzt bleiben mir abschließend noch 3 Fragen:
1.) Was genau soll die grün-gekennzeichnete Funktion aussagen, bzw. wo kommt sie her?
2.) Durch das Verschieben der roten Funktion liegt selbige ja auf [mm] [3\pi,4\pi] [/mm] genau auf der konstanten Funktion 0. Erübrigt sich deswegen denn nicht bereits die Aufhebung ab [mm] 4\pi?
[/mm]
3.) Welche Bedeutung hat denn der fett gezeichnete Bereich am Anfang? Also der Bereich, der auf der f(t)-Achse aus dem negativen Bereich kommt und dann bis [mm] \pi [/mm] auf der t-Achse wandert?
> hoffe mit bild und dem in eile getippten text kannst du
> etwas anfangen.
> ps: u(t) hab ich aus gewohnheit für die sprungfunktion
> genommen, r für rampe
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> gruß tee
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> > Vielen Dank!
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> edit: ach, und der erste cosinus muss um 90° verschoben
> sein, nicht der 2. (hatte doch für ne sekunde übersehen,
> dass der erste cosinus seinen hochpunkt ja bei [mm]3\pi[/mm] hat und
> somit verschoben sein muss)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 13.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Es besteht weiterhin Interesse an einer Antwort. Vielen Dank!
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