Überlagerung v. harm. Schwing. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 18.03.2015 | | Autor: | Moone |
| Aufgabe | Gegeben sind die Schwingungen [mm] x_1(t)=cos(wt+\bruch{\pi}{4}) [/mm] und [mm] x_2(t)=A_2sin(wt+\bruch{\pi}{6}.
[/mm]
Wie muss die Amplitude [mm] A_2 [/mm] gewählt werden, dass sich bei einer Überlagerung eine reine Cosinus-Schwingung ergibt(Phasenwinkel=0) |
Wir haben das Verfahren mit Komplexen zahlen gelernt.
Zunächst will man zwei sin Funktionen überlagern da gilt ja:
[mm] sin(\alpha +\bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] cos(\alpha)
[/mm]
Als nächstes müssen wir es Komplex schreiben
[mm] \underline{x_1(t)}=e^{i\bruch{3\pi}{4}}*e^{iwt}
[/mm]
[mm] \underline{x_2(t)}=A_2*e^{i\bruch{/pi}{6}}*e^{iwt}
[/mm]
Die neue Komplexe Amplitude ist:
[mm] \underline{A}=e^{i\bruch{3\pi}{4}}+A_2*e^{i\bruch{/pi}{6}}
[/mm]
Als nächstes wieder in cos und sin umschreiben:
[mm] \underline{A}=cos(3/4\pi)+isin(3/4\pi)+A_2 cos(\pi/6) [/mm] +isin [mm] (\pi/6)
[/mm]
das ergibt dann:
[mm] \underline{A}=1/2 \wurzel{2}-i*1/2 \wurzel{2}+A_2 [/mm] 1/2 [mm] \wurzel{3}+i*A_2 [/mm] 1/2
bis soweit ist mir das Verfahren klar über den Betrag der Komplexen Amplitude bekomme ich den wert für die neue Amplitude, der Phasenwinkel ist das Argument
Reine Cosinusschwingung würde ja bedeuten das ich am ende A*cos(wt) habe
also [mm] A*sin(wt-\pi/2)
[/mm]
Wie soll das aber gehen? [mm] tan(\pi/2) [/mm] ist nicht definiert.
Oder habe ich da was falsch verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die Schwingungen [mm]x_1(t)=cos(wt+\bruch{\pi}{4})[/mm]
> und [mm]x_2(t)=A_2sin(wt+\bruch{\pi}{6}.[/mm]
> Wie muss die Amplitude [mm]A_2[/mm] gewählt werden, dass sich bei
> einer Überlagerung eine reine Cosinus-Schwingung
> ergibt(Phasenwinkel=0)
> Wir haben das Verfahren mit Komplexen zahlen gelernt.
>
> Zunächst will man zwei sin Funktionen überlagern da gilt
> ja:
> [mm]sin(\alpha +\bruch{\pi}{2})[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
>
> Als nächstes müssen wir es Komplex schreiben
> [mm]\underline{x_1(t)}=e^{i\bruch{3\pi}{4}}*e^{iwt}[/mm]
> [mm]\underline{x_2(t)}=A_2*e^{i\bruch{/pi}{6}}*e^{iwt}[/mm]
>
> Die neue Komplexe Amplitude ist:
>
> [mm]\underline{A}=e^{i\bruch{3\pi}{4}}+A_2*e^{i\bruch{/pi}{6}}[/mm]
>
> Als nächstes wieder in cos und sin umschreiben:
> [mm]\underline{A}=cos(3/4\pi)+isin(3/4\pi)+A_2 cos(\pi/6)[/mm]
> +isin [mm](\pi/6)[/mm]
> das ergibt dann:
> [mm]\underline{A}=1/2 \wurzel{2}-i*1/2 \wurzel{2}+A_2[/mm] 1/2
> [mm]\wurzel{3}+i*A_2[/mm] 1/2
>
> bis soweit ist mir das Verfahren klar über den Betrag der
> Komplexen Amplitude bekomme ich den wert für die neue
> Amplitude, der Phasenwinkel ist das Argument
>
> Reine Cosinusschwingung würde ja bedeuten das ich am ende
> A*cos(wt) habe
> also [mm]A*sin(wt-\pi/2)[/mm]
>
> Wie soll das aber gehen? [mm]tan(\pi/2)[/mm] ist nicht definiert.
Na und ?
> Oder habe ich da was falsch verstanden?
Offenbar
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 18.03.2015 | | Autor: | Moone |
Das Argument ist über tan definiert es gibt ja keinen wirklichen wert aus dem ich [mm] \pi/2 [/mm] als Argument bekomme?
Da ich offenbar was falsch verstanden habe wärst du so freundlich mich aufzuklären oder zumindest einen Denkanstoß zu geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das Argument ist über tan definiert es gibt ja keinen
> wirklichen wert aus dem ich [mm]\pi/2[/mm] als Argument bekomme?
Welches Argument hat denn $i$ ?
FRED
>
> Da ich offenbar was falsch verstanden habe wärst du so
> freundlich mich aufzuklären oder zumindest einen
> Denkanstoß zu geben?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mi 18.03.2015 | | Autor: | Moone |
Ahh... Ich habe die Sonderfälle beim Argument vergessen, sobald der Realteil 0 wird und der Imaginärteil größer 0 ist, ist das Argument [mm] \pi/2.
[/mm]
i wäre dann ein Fall
Dann muss [mm] A_2= -\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] sein
Vielen dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 18.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Ahh... Ich habe die Sonderfälle beim Argument vergessen,
> sobald der Realteil 0 wird und der Imaginärteil größer 0
> ist, ist das Argument [mm]\pi/2.[/mm]
> i wäre dann ein Fall
>
> Dann muss [mm]A_2= -\wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm] sein
>
Nicht ganz. Du hast oben die Vorzeichen bei sin(3*pi/4) und cos(3*pi/4) falsch.
RMIx
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