Überprüfen ob Abbildung linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 12.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die Abbildung F linear ist:
F: [mm] \IR^3\to\IR^2, \vektor{a \\ b \\ c} \mapsto \vektor{a + b \\ 1} [/mm] |
Hallo,
man kann ja sagen, auf Grund der Bedingung [mm] L(\vec{x}+\vec{y}) [/mm] = [mm] L(\vec{x}) [/mm] + [mm] L(\vec{y})
[/mm]
dass es 2 Vektoren gibt [mm] \vec{x}_{1}=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] und [mm] \vec{y}_{2}=\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} [/mm] aus dem [mm] \IR^3 [/mm] und es gilt F [mm] \vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3}}. [/mm] Soweit kann ich noch folgen.
und dann steht da in meiner Lösung , dass F [mm] \vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} + y_{1} + x_{2} + x_{2} \\ 1}
[/mm]
1.Frage: Warum wurde das hier gleichgesetzt? Und nicht zum Beispiel wieder ein Pfeil dazwischen geschrieben?
2.Frage: Wie wurde nun dieser Vektor [mm] \vektor{x_{1} + y_{1} + x_{2} + x_{2} \\ 1} [/mm] gebildet, dass da unten nicht 1 + 1 steht, also auch hier Zeile für Zeile addiert wurde?
Viele Grüße.
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Hallo Nina,
> Prüfen Sie, ob die Abbildung F linear ist:
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> F: [mm]\IR^3\to\IR^2, \vektor{a \\ b \\ c} \mapsto \vektor{a + b \\ 1}[/mm]
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> Hallo,
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> man kann ja sagen, auf Grund der Bedingung
> [mm]L(\vec{x}+\vec{y})[/mm] = [mm]L(\vec{x})[/mm] + [mm]L(\vec{y})[/mm]
>
> dass es 2 Vektoren gibt [mm]\vec{x}_{1}=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> und [mm]\vec{y}_{2}=\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}[/mm] aus dem
> [mm]\IR^3[/mm] und es gilt F [mm]\vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3}}.[/mm]
Es gilt WAS? Da steht nur ein Term, keine Aussage
> Soweit kann ich noch folgen.
Ich nicht, du meinst, es müsste für die Linearität von F gelten:
[mm] $F\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\right)=F\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\right)+F\left(\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\right)$
[/mm]
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> und dann steht da in meiner Lösung , dass
F [mm]\vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{x_{1} + y_{1} + x_{2} + x_{2} \\ 1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> 1.Frage: Warum wurde das hier gleichgesetzt? Und nicht zum
> Beispiel wieder ein Pfeil dazwischen geschrieben?
Na, ist doch nun egal, wie du's schreibst, es wird halt das Bild des Vektors [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}$, [/mm] also des Vektors [mm] $\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}$ [/mm] unter $F$ berechnet, ob du da [mm] $F\left(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}\right)=\vektor{(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\\1}$
[/mm]
oder [mm] $\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}\mapsto\vektor{(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\\1}$ [/mm] schreibst, ist dir überlassen
>
> 2.Frage: Wie wurde nun dieser Vektor [mm]\vektor{x_{1} + y_{1} + x_{2} + x_{2} \\ 1}[/mm]
> gebildet, dass da unten nicht 1 + 1 steht, also auch hier
> Zeile für Zeile addiert wurde?
Das ist einfach nur das Bild des Vektors [mm] $\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}$ [/mm] unter F
Wenn du nun die Bilder von [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm] und [mm] $\vektor{y_1\\y_2\\y_3}$ [/mm] unter F berechnset, also [mm] $F\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\right)$ [/mm] und [mm] $F\left(\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\right)$ [/mm] und diese dann addierst, bekommst du in der 2. Zeile eben genau die 2 und keine 1, also ist F nicht linear
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> Viele Grüße.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 12.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Ja, das später bei [mm] F(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}) [/mm] + [mm] F(\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} + x_{2} + y_{2} + y_{2} \\ 2}
[/mm]
unten 2 steht, das verstehe ich ja wiederum.
Aber warum steht dann bei dem anderen eine 1? und wie wurde das nun berechnet?
Lg.
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Hallo nochmal,
> Ja, das später bei [mm]F(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})[/mm] +
> [mm]F(\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}})[/mm] = [mm]\vektor{x_{1} + x_{2} + y_{2} + y_{2} \\ 2}[/mm]
>
>
> unten 2 steht, das verstehe ich ja wiederum.
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> Aber warum steht dann bei dem anderen eine 1? und wie wurde
> das nun berechnet?
Durch stures Einsetzen in die gegebene Abbildungsvorschrift.
Vllt. setzt du mal zur besseren Übersicht [mm] $z_1=x_1+y_1, z_2=x_2+y_2$ [/mm] und [mm] $z_3=x_3+y_3$
[/mm]
Dann ist [mm] $F\left(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}\right)=F\left(\vektor{z_1\\z_2\\z_3}\right)=\vektor{z_1+z_2\\1}$
[/mm]
$F$ macht ja nichts anderes, als die ersten beiden Koordinaten des Urbildvektors zu addieren und dann als 1.Koordinate des Bildvektors auszuspucken, die dritte Koordinate des Urbildvektors wird quasi ignoriert oder wenn du so willst immer mit dem Wert 1 als 2.Koordinate des Bildvektors ausgespuckt
Schreibe nun wieder [mm] $z_1, z_2, (z_3)$ [/mm] aus, dann hast du's
>
> Lg.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Do 13.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] F(\vektor{0 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} \not= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Also ist f nicht linear.
FRED
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