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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Mi 05.05.2010 | | Autor: | javeda |
| Aufgabe | Für welche a,b,c [mm] \in \IR [/mm] ist die Menge
U = {(x,y) [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] : y = ax²+bx+c}
eine Untergruppe von [mm] (\IR,+)\times(\IR,+)? [/mm] |
Ich weiß, dass ich entweder die Gruppenaxiome oder durch das Untergruppenkriterium nachprüfen kann, ob U tatsächlich eine Untergruppe ist.
Aber wie rechne ich mit [mm] (\IR,+)\times(\IR,+)?
[/mm]
Welche Verknüpfung hat U? Auch +?
Wäre ein Element aus U (x, ax²+bx+c)?
Und wenn ich zwei Elemente miteinander verknüpfe:
(x, ax²+bx+c)+ (z, az²+bz+c) = (x+z, a(x²+z²)+b(x+z)+2c) ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für welche a,b,c [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist die Menge
> U = {(x,y) [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: y = ax²+bx+c}
> eine Untergruppe von [mm](\IR,+)\times(\IR,+)?[/mm]
> Ich weiß, dass ich entweder die Gruppenaxiome oder durch
> das Untergruppenkriterium nachprüfen kann, ob U
> tatsächlich eine Untergruppe ist.
> Aber wie rechne ich mit [mm](\IR,+)\times(\IR,+)?[/mm]
Die Verknüpfung ist die übliche Vektoraddition im [mm] \IR^2
[/mm]
> Welche Verknüpfung hat U? Auch +?
Ja
> Wäre ein Element aus U (x, ax²+bx+c)?
Ja
> Und wenn ich zwei Elemente miteinander verknüpfe:
> (x, ax²+bx+c)+ (z, az²+bz+c) = (x+z,
> a(x²+z²)+b(x+z)+2c) ?
Nein. Es ist (x, ax²+bx+c)+ (z, az²+bz+c) = (x+z, (ax²+bx+c)+(az²+bz+c))
Der Witz der Aufgabe ist doch gerade, festzustellen für welche a,b, c gilt:
(x+z, (ax²+bx+c)+(az²+bz+c))= (x+z, a(x²+z²)+b(x+z)+2c) für alle x,z [mm] \in \IR
[/mm]
Das letzte ist Unfug und ist zu ersetzen durch:
(x+z, (ax²+bx+c)+(az²+bz+c))= (x+z, [mm] a(x+z)^2+b(x+z)+2c) [/mm] für alle x,z $ [mm] \in \IR [/mm] $
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mi 05.05.2010 | | Autor: | javeda |
Aber gilt das nicht für alle a,b,c [mm] \in\IR, [/mm] da
(x, ax²+bx+c) + (z, az²+bz+c) = (x+z, (ax²+bx+c)+(az²+bz+c))
= (x+z, ax²+bx+c+az²+bz+c)
= (x+z, ax²+az²+bx+bz+c+c)
= (x+z, a(x²+z²)+b(x+z)+2c)
da (ax²+bx+c)+(az²+bz+c) [mm] \IR?
[/mm]
Dieses Element liegt dann aber nicht mehr in U, oder?
Da (x+z, a(x+z)²+b(x+z)+c) [mm] \in [/mm] U.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Pardon oben hab ich mich verschrieben . Korrekt muß es lauten:
Der Witz der Aufgabe ist doch gerade, festzustellen für welche a,b, c gilt:
(x+z, (ax²+bx+c)+(az²+bz+c))= (x+z, [mm] a(x+z)^2+b(x+z)+2c) [/mm] für alle x,z $ [mm] \in \IR [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 05.05.2010 | | Autor: | javeda |
D.h. ich kann mich auf die 2. Komponente konzentrieren und die Gleichung
a(x²+z²)+b(x+z)+2c = a(x+z)²+b(x+z)+c
lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 05.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du meinst du willst daraus die richtigen a,b,c finden , Ja
Unter Gleichung lösen versteh ich was anderes.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 05.05.2010 | | Autor: | javeda |
Dann bekomme ich: a,b [mm] \in \IR [/mm] bel, c=2axz.
Kann das sein, dass c von beiden gewählten Elementen in U abhängt?
Oder muss ich für
a=0, b [mm] \in\IR [/mm] beliebig, c= 0
wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Du mußt feststellen für welche a,b,c gilt
a(x²+z²)+b(x+z)+2c = a(x+z)²+b(x+z)+c für alle x,z [mm] \in \IR
[/mm]
und (darüber haben wir noch gar nicht gesprochen, Untergruppe !!)
$(x,y) [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] -(x,y) [mm] \in [/mm] U$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 05.05.2010 | | Autor: | javeda |
Also wenn ich a,c=0, b [mm] \in\IR [/mm] bel wähle, ist U eine Untergruppe.
Da für (x,bx), (y,by) [mm] \in [/mm] U bel. gilt:
1. Verknüpfung liegt in U
(x,bx) + (y,by) = (x+y, bx+by) = (x+y, b(x+y)) [mm] \in\IR
[/mm]
2. neutrales Element (0,0) [mm] \in (\IR,+)\times(\IR,+) [/mm] ist auch [mm] \in [/mm] U
3. inverses Element
(x,bx)+(-x,b(-x))=(0,0) und [mm] (-x,b(-x))\in [/mm] U
Aber mir kommt es so vor, als hätte ich die ursprüngliche Vorderung
(x, ax²+bx+c) zu stark beschnitten.
Ich komme leider auf keine anderen Werte für a,b,c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mi 05.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein es gilt eben nur für a,c=0 b beliebig.
du hast also recht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mi 05.05.2010 | | Autor: | javeda |
Vielen Dank fred97 und leduart für die Hilfe!
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