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hallO!!
die oben gezeigten aufgaben bereiten mir kopfschmerzen!!
AUFGABE 8 da habe ich als ansatz (substitution) t=cosx.
dx/dt=sinx --> dx=dt*sinx
jedoch komme ich dann nicht weiter...
AUFGABE 6: x=cost, da substitution mit winkelfunktionen. dx/dt=-sint
dx=dt*(-sint)
dann integral (cos²t/1-cos²t)*(-sint)*dt
jedoch weiß ich nicht,wie ich dann die stammfunktion bilden soll....
AUFGABE 5: hier weiß ich nur, dass tanx - x herrauskommen muss, aber habe keinen ansatz
AUFGABE 7. hier weiß ich gar nicht was zu tun ist...
für lösungsansätze und/oder lösungen zum nachvollziehen wäre ich sehr dankbar!!
mfg
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
Aufgabe 7
Erweitere doch einmal den Bruch mit 2 und sieh' Dir dann mal den Ausdruck unter der Wurzel und den Zähler genauer an.
Fällt Dir was auf?
Loddar
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ja und was nützt mir das dann?! ich kann doch nicht die wurzel ziehn... oder was ist gemeint??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> ja und was nützt mir das dann?! ich kann doch nicht die
> wurzel ziehn... oder was ist gemeint??
Aber Du hast doch dann im Zähler exakt die Ableitung des Ausdruckes unter der Wurzel.
Tipp: Substitution mit $t \ := \ [mm] 2x^3 [/mm] - 4x + 2$
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Aufgabe 8
> da habe ich als ansatz (substitution) t=cosx.
> dx/dt=sinx --> dx=dt*sinx
> jedoch komme ich dann nicht weiter...
Das sieht ja schon fast gut aus ...
Aber ...
aus [mm] $\bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \sin(x)$ [/mm] wird $dx = [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{dt}{\sin(x)}$
[/mm]
Schreib' das nun mal alles zusammen auf!
Und schon kürzt sich etwas weg ...
Loddar
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vielen dank. aufgabe 8 habe ich nun gelöst.
aber eine dumme frage: wann schreibt man dx/dt und wann dt/dx???
mfg
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bei 8. habe ich 0 herraus!!
aber eine frage zu 7. habe das jetzt auch gesehn und letztlich bleibt bei mir 1/ [mm] \wurzel{t}*2 [/mm] dt übrig.. ist das falsch?? denn wenn ich damit die stammfunktion bilde, kommt [mm] t^3/2 [/mm] herraus.
aber müsste nicht nur t herrauskommen??
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mi 23.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo christoph
Einige einfache Regeln beim Integrieren führen oft schneller zum Ziel.
Du weisst sicher : [mm](\wurzel{f(x)})' = \bruch{1}{2}*\bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}}[/mm]
Wenn du also ein Integral triffst, das eine Wurzel im Nenner hat, überprüfst du zuerst ob im Zähler die Ableitung des Radikanten steht (oder bis auf einen konstanten Faktor) und dann bist du schon fertig:
[mm]\integral {\bruch{a*f'(x)}{\wurzel{f(x)}}dx} =2*a*\integral{{\bruch{1}{2}*\bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}}=2*a*\wurzel{f(x)}[/mm]
Und ich find das geht immer schneller als substituieren.
Entsprechend gibt es die Regel für (ln(f(x))' und das Integral von [mm] $\bruch{f'}{f}$
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Do 24.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
Übrigens ...
> bei 8. habe ich 0 herraus!!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt!
Ich hatte nur gedacht, Du schreibst hier auch noch die entsprechende Stammfunktion (zur Kontrolle) ... *achselzuck*
Loddar
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kann mir jemand noch lösungsansätze zu den aufgaben 5 oder 6geben???
mfg
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mach ich mal Aufgabe 5:
[mm] tan^2(x)= \bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}=\bruch{1-cos^2(x)}{cos^2(x)}
[/mm]
reicht das als Hile?
Gruß
Oliver
Aufgabe 6 hab ich grad erst gesehen, mal gucken ob mir was einfällt
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das hatte ich mir auch schon überlegt mit dem trigonometrischem pythagoras.... aber so ganz hat es noch nich "klick" gemacht"!:)
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Do 24.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
Na, dann gehen wir doch noch einige Schritte ...
Wir haben ja (siehe auch Antwort von Oliver):
[mm] $\tan^2(x) [/mm] \ [mm] \underbrace{= }_{(\star)} [/mm] \ [mm] \bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{(\star \star)} [/mm] \ [mm] \bruch{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)} [/mm] - [mm] \bruch{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)} [/mm] - 1$
[mm] $(\star)$ [/mm] Defintion der tan-Funktion: [mm] $\tan(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
[mm] $(\star \star)$ [/mm] trigonometrischer Pythagoras: [mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$
[mm] $\Rightarrow$ $\sin^2(x) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \cos^2(x)$
[/mm]
Wenn wir uns nun den Ausdruck [mm] $\bruch{1}{\cos^2(x)}$ [/mm] mal näher betrachten, fällt uns (vielleicht?) auf, daß dies' genau der Ableitung der tan-Funktion entspricht:
[mm] $\left[ \ \tan(x) \ \right]' [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{(\star)} [/mm] \ [mm] \left[ \ \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} \ \right]' [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{Quotientenregel} [/mm] \ [mm] \bruch{\cos(x)*\cos(x) - \sin(x)*[-\sin(x)]}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos^2(x) \red{+} \sin^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{(\star \star)} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)}$
[/mm]
Für unser Integral gilt also:
[mm] $\integral_{}^{} {\tan^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{\cos^2(x)} \ dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {1 \ dx} \ = \ ...$
Daraus folgt ja schon direkt Deine o.g. Lösung!
Nun alles etwas klarer?
Gruß
Loddar
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ich habe nun den ansatz mit winkelfunktionen substituieren!! also x=r*cost und dann fällt r weg, da 1
und dann weiter dx/dt=-sint --> dx=-sint*dt
müsste doch auch richtig sein!! jedoch habe ich dann irgendwo einen rechenfehler würde ich sagen... als ergebnis muss pi/4 ( grenzen eingesetzt) herrauskommen?! bitte um hilfe nach dem ansatz...
mfg
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das scheint mir auf den ersten Blick die richtige Idee zu sein, beschäftige mich heut Abend mal damit , weil ich weg muss ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") , sorry
Gruß
OLIVER
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ne sorry, auch nach längerem überlegen scheitern trigonometrische Ansätze. Deinen Ansatz kann ich nicht nachvollziehen, kannst du nochmal posten, was du da genau substituiert hast.
Merkwürdig ist , dass der Logarithmus in der lösung bei deinen angegebenen Grenzen nicht definiert ist.
Gruß
Oliver
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kann ich das auch ohne log lösen?? durch substitution oder partielle integration?
wir hatten das mit log noch nich so ausführlich...
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Do 24.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Christoph!
Also ich sehe hier keinen anderen Weg als den von Karl_Pech angegebenen.
Du mußt hier "lediglich" wissen, daß die Stammfunktion von $y \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(x)$ [/mm] ist:
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x) [/mm] \ + \ C$
Hinweis:
Mit der Bezeichnung "log" in der genannten Lösung ist der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(x)$ [/mm] gemeint!
Gruß
Loddar
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Die Variable, nach der Du ableitest, steht im Nenner !!
Potenzregel![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Siehe oben ...
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.calc101.com/german/partial_2d.html