Übungsserie 5, Aufgabe 1 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V-1: a) Sei a>0. Berechnen Sie den Grenzwert für n [mm] ->\infty [/mm] von [mm] a_{n}=\bruch{a^{2n}}{1+a^{2n+1}}
[/mm]
b) Sei [mm] (a_{n})_{ n\ge 1} [/mm] eine reelle oder komplexe Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] (\wurzel[k]{|a_{n}|})_{n\ge 1} [/mm] mit festem [mm] k\in \IN [/mm] eine Nullfolge ist. |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}$
[/mm]
1.Fall
$\ a > 1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{a}$
[/mm]
2.Fall
$\ a = 1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{1+a}$
[/mm]
3.Fall
$\ 0<a<1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = 0 $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a_n = \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}[/mm]
>
> 1.Fall
> [mm]\ a > 1[/mm]: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{a}[/mm]
>
> 2.Fall
> [mm]\ a = 1[/mm]: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{1+a}[/mm]
>
> 3.Fall
> [mm]\ 0
Es stimmt alles, aber es fehlen Begründungen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Begründungen dieser Art?
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}$
[/mm]
1.Fall
$\ a > 1$:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{a}$, [/mm] da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) [/mm] = 0$
2.Fall
$\ a = 1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{1+a}$, [/mm] da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{1^{2n}} \right) [/mm] = 1$
3.Fall
$\ 0<a<1$: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) [/mm] = 0$, da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Begründungen dieser Art?
>
> [mm]a_n = \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a}[/mm]
>
> 1.Fall
> [mm]\ a > 1[/mm]:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{a}[/mm],
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) = 0[/mm]
O.K.
>
>
> 2.Fall
> [mm]\ a = 1[/mm]: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{\frac{1}{a^{2n}}+a} \right) = \frac{1}{1+a}[/mm],
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{1^{2n}} \right) = 1[/mm]
Na, ja. Im Falle a=1 ist die Folge dovh konstant !
>
> 3.Fall
> [mm]\ 0
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{a^{2n}} \right) = \infty[/mm]
O.K.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke.
> Na, ja. Im Falle a=1 ist die Folge dovh konstant !
Haha, ja, das stimmt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Setze [mm] $b_n [/mm] = [mm] \sqrt[k]{|a_n|}-1 \ge [/mm] -1 $
(Da die Wurzel aufgrund der Positivität größer gleich null ist).
[mm] $|a_n| [/mm] = [mm] (b_n+1)^k [/mm] = [mm] \sum_{m=1}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le b_n+1 \le |a_n|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le \sqrt[k]{|a_n|} \le |a_n|$
[/mm]
Da [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, muss [mm] \sqrt[k]{|a_n|} [/mm] nach der Sandwich-Methode dies ebenfalls sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Setze [mm]b_n = \sqrt[k]{|a_n|}-1 \ge -1[/mm]
Wozu ?
> (Da die Wurzel
> aufgrund der Positivität größer gleich null ist).
>
> [mm]|a_n| = (b_n+1)^k = \sum_{m=1}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1[/mm]
Das stimmt nicht. Das sieht man schon am Beispiel [mm] a_n=1/n
[/mm]
FRED
>
> [mm]\Rightarrow 0 \le b_n+1 \le |a_n|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0 \le \sqrt[k]{|a_n|} \le |a_n|[/mm]
>
> Da [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist, muss [mm]\sqrt[k]{|a_n|}[/mm] nach der
> Sandwich-Methode dies ebenfalls sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 22.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Ups, ich meinte
$ [mm] |a_n| [/mm] = [mm] (b_n+1)^k [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1 [/mm] $
(Laufindex war falsch)
Oder lag der Fehler woanders?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ups, ich meinte
>
> [mm]|a_n| = (b_n+1)^k = \sum_{m=0}^{k} \vektor{k \\ m} b^m_n \ge b_n+1[/mm]
>
> (Laufindex war falsch)
>
> Oder lag der Fehler woanders?
Die Ungleichung [mm] |a_n| \ge b_n+1 [/mm] ist einfach falsch !!!
Nimm mal an sie wäre richtig, also
[mm] |a_n| \ge \wurzel[k]{|a_n|}
[/mm]
Dann folgt:
[mm] |a_n|^k \ge |a_n|.
[/mm]
Wenn jetzt alle [mm] a_n \ne [/mm] 0 sind (was z.B. bei [mm] a_n=1/n [/mm] der Fall ist), so haben wir:
[mm] |a_n|^{k-1} \ge [/mm] 1 für alle n.
Ist k [mm] \ge [/mm] 2, so kann [mm] (a_n) [/mm] nie und nimmer eine Nullfolge sein.
FRED
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