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hallo zusammen
ich bin grad an der umformung dran.
kann ich das subtrahieren?
[mm]\frac{\partial C }{\partial t} \frac{\partial V }{\partial S} -\frac{\partial V }{\partial t}\frac{\partial C }{\partial S}[/mm]
gibt das 0? oder geht das nicht?
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Hallo Sabrinchen,
> ich bin grad an der umformung dran.
Was für eine Umformung?
> kann ich das subtrahieren?
> [mm]\frac{\partial C }{\partial t} \frac{\partial V }{\partial S} -\frac{\partial V }{\partial t}\frac{\partial C }{\partial S}[/mm]
>
> gibt das 0? oder geht das nicht?
Wenn Du sicherstellen kannst, dass die beiden Summanden einen definierten Wert haben (also nicht unendlich "sind"), dann geht das.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo zusammen
>
> ich bin grad an der umformung dran.
> kann ich das subtrahieren?
> [mm]\frac{\partial C }{\partial t} \frac{\partial V }{\partial S} -\frac{\partial V }{\partial t}\frac{\partial C }{\partial S}[/mm]
>
> gibt das 0? oder geht das nicht?
Subtrahieren kannst Du. 0 wird i.a. nicht rauskommen
Beispiel: $C(t,S)=tS,~~~ V(t,S)=t^2S$
FRED
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also es geht darum:
ich soll die selbstfinanzierende strategie
[mm] [latex]Q_{s}=\frac{(C*\frac{dV}{dS}-V*\frac{dC}{dS}) }{(C-\frac{dC}{dS}*S)} [/mm] [/latex]
[mm] [latex]Q_{c}=\frac{(V-S*\frac{dV}{dS}) }{(C-\frac{dC}{dS}*S)} [/mm] [/latex]
in
[mm] s\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +c\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2}=0
[/mm]
einsetzen, wobei der optionspreis der black-scholes DGl genügt. und rausbekommen will ich dass V der BS DGL genügt.
jetzt muss ich doch mein [mm] Q_{s}und Q_{c} [/mm] nach t, s un nochmal nach S ableiten und alles einsetzen.
Qs nach t abgeleitet gibt
[mm] (\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S} +C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-V\frac{\partial^2 c}{\partial S \partial t})(c-\frac{\partial C}{\partial S}S)
[/mm]
[mm] -(c\frac{\partial V}{\partial V}-V\frac{\partial C}{\partial S})(\frac{\partial C}{\partial t}-S\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}-\frac{\partial C}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial t}
[/mm]
und durch den nenner zum quadrat
da war eben die frage ob man das vereinfachen kann? bzw stimmt überhaupt die vorgehensweise??
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ich bin immer noch an ner antwort interessiert...
LG
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Hallo Sabrinchen101,
> also es geht darum:
> ich soll die selbstfinanzierende strategie
> [mm][latex]Q_{s}=\frac{(C*\frac{dV}{dS}-V*\frac{dC}{dS}) }{(C-\frac{dC}{dS}*S)}[/mm]
> [/latex]
> [mm][latex]Q_{c}=\frac{(V-S*\frac{dV}{dS}) }{(C-\frac{dC}{dS}*S)}[/mm]
> [/latex]
> in
> [mm]s\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +c\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2}=0[/mm]
>
> einsetzen, wobei der optionspreis der black-scholes DGl
> genügt. und rausbekommen will ich dass V der BS DGL
> genügt.
>
> jetzt muss ich doch mein [mm]Q_{s}und Q_{c}[/mm] nach t, s un
> nochmal nach S ableiten und alles einsetzen.
>
> Qs nach t abgeleitet gibt
>
> [mm](\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S} +C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-V\frac{\partial^2 c}{\partial S \partial t})(c-\frac{\partial C}{\partial S}S)[/mm]
>
> [mm]-(c\frac{\partial V}{\partial V}-V\frac{\partial C}{\partial S})(\frac{\partial C}{\partial t}-S\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}-\frac{\partial C}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial t}[/mm]
>
S ist doch von t unabhängig.
Dann muss das lauten:
[mm](\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S} +C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-V\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t})(\blue{C}-\frac{\partial C}{\partial S}S)-(\blue{C}\frac{\partial V}{\partial \blue{S}}-V\frac{\partial C}{\partial S})\left(\frac{\partial C}{\partial t}-S\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}\right)[/mm]
> und durch den nenner zum quadrat
>
> da war eben die frage ob man das vereinfachen kann? bzw
Multipliziere den obigen Ausdruck aus.
> stimmt überhaupt die vorgehensweise??
Ja.
Gruss
MathePower
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> S ist doch von t unabhängig.
>
> Dann muss das lauten:
>
> [mm](\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S} +C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-V\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t})(\blue{C}-\frac{\partial C}{\partial S}S)-(\blue{C}\frac{\partial V}{\partial \blue{S}}-V\frac{\partial C}{\partial S})\left(\frac{\partial C}{\partial t}-S\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}\right)[/mm]
>
>
> > und durch den nenner zum quadrat
> >
> > da war eben die frage ob man das vereinfachen kann? bzw
>
>
> Multipliziere den obigen Ausdruck aus.
[mm] \frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S}*C +C^2\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-C*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-CV\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t}
[/mm]
[mm] -\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S}-\frac{\partial C}{\partial S}S*C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}+\frac{\partial C}{\partial S}S*V\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t}+\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-
[/mm]
[mm] C\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial C}{\partial t}+CS*\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}+V\frac{\partial C}{\partial S}\frac{\partial C}{\partial t}-S\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}V\frac{\partial C}{\partial S}
[/mm]
[mm] =C^2\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-C*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-CV\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t}
[/mm]
[mm] -\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S}-\frac{\partial C}{\partial S}S*C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}+\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}+CS*\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}+V\frac{\partial C}{\partial S}\frac{\partial C}{\partial t}
[/mm]
durch nenner zum quadrat
stimmt das so?
Qc nach t abgeleitet gibt, auch hier gilt nenner zum quadrat.
[mm] =(\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}*S)(C-\frac{\partial C}{\partial S}S)-(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)(\frac{\partial C}{\partial t}-\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}S)
[/mm]
ausmultipliziert
[mm] =C\frac{\partial V}{\partial t}-C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}*S-\frac{\partial V}{\partial t}\frac{\partial C}{\partial S}S+\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}*S^2*\frac{\partial C}{\partial S}
[/mm]
[mm] -V\frac{\partial C}{\partial t}+V\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}S+\frac{\partial V}{\partial S}S\frac{\partial C}{\partial t}-S^2\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}
[/mm]
kann man noch was vereinfacheen?
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Hallo Sabrinchen101,
> >
> > S ist doch von t unabhängig.
> >
> > Dann muss das lauten:
> >
> > [mm](\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S} +C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-V\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t})(\blue{C}-\frac{\partial C}{\partial S}S)-(\blue{C}\frac{\partial V}{\partial \blue{S}}-V\frac{\partial C}{\partial S})\left(\frac{\partial C}{\partial t}-S\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}\right)[/mm]
>
> >
> >
> > > und durch den nenner zum quadrat
> > >
> > > da war eben die frage ob man das vereinfachen kann? bzw
> >
> >
> > Multipliziere den obigen Ausdruck aus.
>
> [mm]\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S}*C +C^2\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-C*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-CV\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t}[/mm]
>
> [mm]-\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S}-\frac{\partial C}{\partial S}S*C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}+\frac{\partial C}{\partial S}S*V\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t}+\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-[/mm]
>
> [mm]C\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial C}{\partial t}+CS*\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}+V\frac{\partial C}{\partial S}\frac{\partial C}{\partial t}-S\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}V\frac{\partial C}{\partial S}[/mm]
>
> [mm]=C^2\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}-C*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}-CV\frac{\partial^2 \blue{C}}{\partial S \partial t}[/mm]
>
> [mm]-\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial C}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial S}-\frac{\partial C}{\partial S}S*C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}+\frac{\partial C}{\partial S}S*\frac{\partial V}{\partial t} \frac{\partial C}{\partial S}+CS*\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial^2 C}{\partial S \partial t}+V\frac{\partial C}{\partial S}\frac{\partial C}{\partial t}[/mm]
>
> durch nenner zum quadrat
>
> stimmt das so?
Ja.
> Qc nach t abgeleitet gibt, auch hier gilt nenner zum
> quadrat.
>
> [mm]=(\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}*S)(C-\frac{\partial C}{\partial S}S)-(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)(\frac{\partial C}{\partial t}-\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}S)[/mm]
>
> ausmultipliziert
> [mm]=C\frac{\partial V}{\partial t}-C\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}*S-\frac{\partial V}{\partial t}\frac{\partial C}{\partial S}S+\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t}*S^2*\frac{\partial C}{\partial S}[/mm]
>
> [mm]-V\frac{\partial C}{\partial t}+V\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}S+\frac{\partial V}{\partial S}S\frac{\partial C}{\partial t}-S^2\frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}[/mm]
>
> kann man noch was vereinfacheen?
>
Leider nein.
Du kannst beide Ausdrücke in der Form
[mm]\alpha*\bruch{\partial^{2} V}{\partial S \partial t}+\beta*\bruch{\partial^{2} V}{\partial S}+\gama*\bruch{\partial^{2} V}{\partial t}+\delta*V[/mm]
schreiben.
Vielleicht ist das für den weiteren Gang der Rechnung nützlich.
Gruss
MathePower
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der wert ist ja durch [mm]V(S,t)=\alpha(S,t)*S+\beta(S,t)*B(t)[/mm].
hier ist ja [mm] B(t)=e^{rt}
[/mm]
in meinem fall ist der wert doch durch [mm] V(S,t)=Q_{s}*S+Q_{c}*C [/mm] gegeben. ist dann auch [mm] c=e^{rt}??
[/mm]
und die ableitungen von c nach s gleich null?
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wenn ich das so mache, dass die ableitung von c nach s gleich null ist, bekomm ich am ende auch FAST die black-Scholes part. Dgl raus.
sie müsste doch [mm] \frac{\partial V}{\partial t} [/mm] + [mm] rS\frac{\partial V}{\partial S} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}=rV
[/mm]
heißen
aber ich bekomms immer ohne das [mm] S^{2}
[/mm]
also so
[mm] \frac{\partial V}{\partial t} [/mm] + [mm] rS\frac{\partial V}{\partial S} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}=rV
[/mm]
gibts diese version der dgl auch?
noch ne andere frage: was bedeutet eigentlich, dass ich benutzen soll, dass c der part. black-scholes Dgl genügt? muss ich da bei meiner rechnung was berücksichtigen?
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Hallo Sabrinchen101,
> wenn ich das so mache, dass die ableitung von c nach s
> gleich null ist, bekomm ich am ende auch FAST die
> black-Scholes part. Dgl raus.
>
> sie müsste doch [mm]\frac{\partial V}{\partial t}[/mm] +
> [mm]rS\frac{\partial V}{\partial S}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}=rV[/mm]
>
> heißen
> aber ich bekomms immer ohne das [mm]S^{2}[/mm]
> also so
> [mm]\frac{\partial V}{\partial t}[/mm] + [mm]rS\frac{\partial V}{\partial S}[/mm]
> + [mm]\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}=rV[/mm]
>
> gibts diese version der dgl auch?
>
In der gegebenen DGL fehlt eine schliessende Klammer.
Daher kann die DGL auch so lauten.
1. [mm] S\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +C\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}\blue{)}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2}=0[/mm]
2. [mm] S\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +C\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}\blue{)}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2}=0[/mm]
3. [mm] S\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +C\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2}\blue{)}=0[/mm]
Mit der 3. Variante komme ich auch auf Dein Ergebnis.
> noch ne andere frage: was bedeutet eigentlich, dass ich
> benutzen soll, dass c der part. black-scholes Dgl genügt?
> muss ich da bei meiner rechnung was berücksichtigen?
Gruss
MathePower
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erst einmal, vielen Dank fürs Nachrechnen :)
ja, die klammer soll so sein wie in der dritten variante.
gibt das denn sinn, dass das [mm] S^2 [/mm] in der DGL fehlt bei unserer rechnung? genügt V somit auch der black-scholes DGL?
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Hallo Sabrinchen101,
> erst einmal, vielen Dank fürs Nachrechnen :)
>
> ja, die klammer soll so sein wie in der dritten variante.
>
> gibt das denn sinn, dass das [mm]S^2[/mm] in der DGL fehlt bei
> unserer rechnung? genügt V somit auch der black-scholes
> DGL?
>
Da in der Black-Scholes DGL ein [mm]S^{2}[/mm] vorhanden ist,
muss der Koeffizient vor [mm]\frac{\partial Q_{s} }{\partial S} \ \ S^{2}+1[/mm] lauten.
Gruss
MathePower
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also du meinst, diese gleichung
[mm] s\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +c\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2})=0 [/mm]
sollte
[mm] s\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +c\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2(S^2+1)\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2})=0 [/mm]
heißen.
aber ich kann ja nicht die ursprüngliche gleichung umändern??
genügt V nicht einfach auch so der black-scholes DGL auch ohne [mm] S^2?
[/mm]
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Hallo Sabrinchen101,
> also du meinst, diese gleichung
> [mm]s\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +c\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2})=0[/mm]
>
> sollte
>
> [mm]s\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +c\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(2(S^2+1)\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2})=0[/mm]
>
> heißen.
>
Nein, ich mein das so:
[mm]s\frac{\partial Q_{s} }{\partial t} +c\frac{\partial Q_{c} }{\partial t} +0,5\sigma^2(\blue{(S^2+1)}\frac{\partial Q_{s} }{\partial S}+ 2\frac{\partial C }{\partial S}\frac{\partial Q_{c} }{\partial S}+S\frac{\partial^2 Q_{s} }{\partial S^2}+c\frac{\partial^2 Q_{c} }{\partial S^2})=0[/mm]
>
> aber ich kann ja nicht die ursprüngliche gleichung
> umändern??
>
Nun, dann muss eine spezielle Bedingung an S geknüpft sein,
wie zum Beispiel
[mm]\vmat{\vmat{S}}=1[/mm]
>
> genügt V nicht einfach auch so der black-scholes DGL auch
> ohne [mm]S^2?[/mm]
Gruss
MathePower
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ok, also sehe ich das richtig, dass die beiden gleichungen dadurch identisch bleiben??
kann ich das überhaupt so machen, dass die ableitung von C nach S null gibt, denn C genügt ja der Black-Scholes DGL und heißt eig auch C(S,t), also von S abhängig. ist das dann immer noch null?
ich hab mir auch noch überlegt, ob das vllt mit den black-scholes griechen geht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 02.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Sabrinchen101,
> der wert ist ja durch
> [mm]V(S,t)=\alpha(S,t)*S+\beta(S,t)*B(t)[/mm].
> hier ist ja [mm]B(t)=e^{rt}[/mm]
> in meinem fall ist der wert doch durch
> [mm]V(S,t)=Q_{s}*S+Q_{c}*C[/mm] gegeben. ist dann auch [mm]c=e^{rt}??[/mm]
> und die ableitungen von c nach s gleich null?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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