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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 15.10.2005 | | Autor: | nebben |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi
wie wird:
[mm] \summe_{i=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{n+1} \bruch {n(n+1)}{2} [/mm]
und wie wird:
[mm] \summe_{i=0}^{n} k^3 = \bruch {n^2(n+1)^2}{4} [/mm]
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Sa 15.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo nebben!
> [mm]\summe_{i=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{n+1} \bruch {n(n+1)}{2}[/mm]
Wenn man es nicht mit vollständiger Induktion zeigen will, kann man es etwa so beweisen:
Für gerades $n$ gilt:
[mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2]$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [/mm] (-4k+1)$
$= -4 [mm] \cdot \frac{\frac{n}{2} \cdot \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{2} [/mm] + [mm] \frac{n}{2}$
[/mm]
$= -2 [mm] \cdot \left( \frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} \right) [/mm] + [mm] \frac{n}{2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{-n^2-2n+n}{2}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
$= [mm] (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
[/mm]
Analog zeigt man die Behauptung für ungerades $n$.
> und wie wird:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} k^3 = \bruch {n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
Das solltest du schon besser mit vollständiger Induktion zeigen... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 15.10.2005 | | Autor: | nebben |
wie kann man dass sagen was du hier gemacht hast:
für gereade N:
[mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 = [/mm] --> [mm] \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2] [/mm]
Ist das die korrekte Summe für ungerade n:
[mm] \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}+1}... [/mm] ?
vollständige induktion:
[mm] \summe_{i=0}^{n} k^3 = \bruch {n^2(n+1)^2}{4} [/mm]
Induktionsanfang: [mm]A(0)= \summe_{i=0}^{n} 0= \bruch{0(0+1)^2}{4} = 0 [/mm]
Wie geht der Induktionsschritt ?
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Hallo,
also zunächst mal zeigt man den Induktionsanfang für gewöhnlich mit n=1.
Und dann folgt der Schluss von A(n) auf A(n+1).
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}k^{3}=\bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}
[/mm]
Und dieser Ausdruck muss nun durch Umformungen auf den gewünschten gebracht werden:
[mm] ...=\bruch{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}
[/mm]
Zu deiner anderen Frage:
Die Summe läuft eben nicht bis n sondern bis n/2 und muss dementsprechend modifiziert werden. Das ist nur ein Trick um den Beweis dann zu führen. Für ungerade n muss es dann eben bis n/2+1 laufen, ist doch klar..! Setz' doch mal ein und überprüfe die Formel. Dann wirst du sehen, dass sie stimmt. Aber sie bedarf eigentlich keines Beweises, da die Umformung elementar ist.
Für dich als Schüler ist aber die vollständige Induktion die bessere Variante!
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 15.10.2005 | | Autor: | nebben |
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1}k^{3}=\bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3} [/mm] $
wieso hast du bei dem Term einfach [mm] $k^3=(n+1)^3$ [/mm] rechts addieren können?
Wenn die Reihe bis zut hälfte läuft, wieso muss man sie dann so modifizieren? ich glaube dir das sie stimmt aber wie kommt man drauf?
$ = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2] [/mm] $
wenn ich den n/2+1 fall nehme bekommt man dann:
$ = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k)^2-(2k+1)^2] [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 15.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
Also erstmal zur ersten Aufgabe: Hier gibt es ja, wie Stefan schon geschrieben hat, zwei mögliche Fälle: entweder n ist gerade oder n ist ungerade. Diese zwei Fälle betrachtest du einzeln.
Hast du denn die Umformung von Stefan verstanden? So ähnlich funktioniert dann auch die mit ungeradem n, nur dass die Summe bis [mm]\br{n-1}{2}[/mm] laufen muss, denn [mm]\br{n}{2}[/mm] ist ja (genau wie [mm]\br{n}{2}+1[/mm]) keine ganze Zahl. Versuch damit nochmal, ob du weiter kommst.
Zur zweiten Aufgabe: Du machst ja eine vollständige Induktion über n, nicht über k. Das heißt du musst beim Induktionsstart für n=0 einsetzen:
[mm] \summe_{k=0}^{0} k^3 = \bruch {0^2(0+1)^2}{4}=0 [/mm], stimmt also...
Für den Induktionsschritt gehst du davon aus, dass die Gleichheit für ein n gezeigt ist und möchtest daraus folgern, dass es für n+1 gilt. Du setzt also überall für n n+1 ein:
[mm]\summe_{k=0}^{n+1} k^3= \summe_{k=0}^{n} k^3 + (n+1)^3[/mm]. Hier habe ich den letzten Summanden aus der Summe rausgezogen, und kann jetzt für den vorderen Teil die Formel einsetzen, denn die Annahme war ja, dass die Aussage für n gilt:
[mm]\summe_{k=0}^{n} k^3 +(n+1)^3 = \bruch {n^2(n+1)^2}{4} +(n+1)^3[/mm]
Das musst du jetzt noch so lange umformen bis dasteht:
[mm]\bruch {(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm] dann hast du gezeigt, dass die Aussage auch für n+1 gilt, also gilt sie für alle [mm]n \in \IN[/mm]
Hoffe das hilft dir
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 So 16.10.2005 | | Autor: | nebben |
das alles hilft mir auf jeden fall.
Die Umformung habe ich noch nicht verstanden.
Wenn die Reihe bis zur Hälfte läuft, wieso muss man sie dann so modifizieren?
Wie kommt man zu dem Term?
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm] = $ [mm] -->$\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2] [/mm] $
für gerade n: $ = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2] [/mm] $
für ungerade n: $ = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} [(2k-2)^2-(2k-1)^2] [/mm] $
stimmt das?
und für beide Fälle bekommt man:
$ = [mm] (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} [/mm] $
---------------------
Induktionsschluss:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1}k^{3}=\summe_{k=0}^{n} k^3 +(n+1)^3 [/mm] = [mm] \bruch {n^2(n+1)^2}{4} +(n+1)^3 [/mm] $
Umformungen:
1. Ausmultiplizieren
2. Auf einen Nenner bringen
3. Faktorisieren
= $ [mm] \bruch {(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] $
stimmt das?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:47 So 16.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo nebben!
> Umformungen:
>
> 1. Ausmultiplizieren
> 2. Auf einen Nenner bringen
> 3. Faktorisieren
>
> = [mm]\bruch {(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm]
>
> stimmt das?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt genau ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 So 16.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> Wenn die Reihe bis zur Hälfte läuft, wieso muss man sie
> dann so modifizieren?
> Wie kommt man zu dem Term?
Der Grund, dass man die Summe so umschreibt ist das [mm](-1)^{k-1}[/mm], um das los zu werden, teilt man die Summe folgendermaßen auf: (für gerades n)
[mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 = \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k^2[/mm]
Hier hab ich den nullten Summanden weggelassen, da er sowieso 0 ist.
[mm]= \summe_{k=1}^{\br{n}{2}} (-1)^{(2k)-1} (2k)^2 + \summe_{k=1}^{\br{n}{2}} (-1)^{(2k-1)-1} (2k-1)^2[/mm]
Ich hab diese Summe jetzt in zwei Summen aufgeteilt, wobei in der ersten die geraden k aufsummiert werden, in der zweiten die ungeraden. Da es jeweils [mm]\br{n}{2}[/mm] gerade und ungeraden Zahlen bis n gibt, hab ich die Indexgrenze entsprechend verändert.
Jetzt ist aber [mm](-1)^{2k-1}=-1[/mm] da 2k-1 immer ungerade ist, und [mm](-1)^{2k-2}=1[/mm] da 2k-2 immer gerade ist. Das kannst du also umschreiben, dann die beiden Summen zusammenfassen, dann steht dein Ergebnis schon fast da, bis auf eine Kleinigkeit:
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 =[/mm]
> -->[mm]\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2][/mm]
Die zweite Summe darf nich ab k=0 loslaufen, sondern erst ab k=1, sonst erhälst du einen Summanden zuviel!
Versuch mal, auf diese Art auch den Fall der ungeraden n aufzuspalten.
Übrigens: wenn dir das alles zu kompliziert ist, kannst du bei dieser Aufgabe natürlich genauso mit Vollständiger Induktion arbeiten wie bei der anderen...
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 16.10.2005 | | Autor: | nebben |
Danke Taura.
für gerade:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm] $--> [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2] [/mm] $
für ungerade:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm] = $ --> [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[(2k-2)^2-(2k-1)^2]$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[4k^2-8k+4-4k^2-4k+1]$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[-12k+5]$
[/mm]
$= -12 [mm] \cdot \frac{\frac{n}{2} \cdot \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{2} [/mm] + [mm] 5*\frac{n}{2} [/mm] $
$= -6 [mm] \cdot \left( \frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} \right) [/mm] + [mm] 5*\frac{n}{2} [/mm] $
$= [mm] \frac{-3n^2-2n+5n}{2} [/mm] $
$ = - [mm] \frac{3n(n+1)}{2} [/mm] $
Stimmt das?
Was nun?
$ = [mm] (-1)^{n-1} \cdot \frac{3n(n+1)}{2} [/mm] $
Was ist passiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 So 16.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
Bitte lies dir doch die Antworten etwas genauer durch!
> für gerade:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm]-->
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2][/mm]
Nein eben nicht, hast du denn mal versucht, meine Rechnung weiterzurechnen? Die Summe muss wie gesagt bei k=1 und nicht bei k=0 anfangen...
> für ungerade:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 =[/mm] -->
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[(2k-2)^2-(2k-1)^2][/mm]
Nein, die Grenze stimmt nicht, auch das hatte ich dir schonmal erklärt, und deine Umformung der Summe ist leider auch falsch. Warum schreibst du denn nicht hin, wie du darauf gekommen bist, dann könnte ich dir sagen, was du falsch gemacht hast.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mo 17.10.2005 | | Autor: | nebben |
für gerade:
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2] [/mm] $
für ungerade:
[mm] $\summe_{k=1}^{\br{n}{2}} (-1)^{(2k-1)-1} (2k-1)^2 [/mm] $
[mm] $=\summe_{k=1}^{\br{n}{2}} [(2k-2)^2-(2k-1)^2 [/mm] ]$
[mm] $=\summe_{k=1}^{\br{n}{2}} [(2k-2)^2-(2k-1)^2 [/mm] ]$
$ [mm] =\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[4k^2-8k+4-4k^2+4k-1] [/mm] $
$ [mm] =\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[-4k+3] [/mm] $
$ = -4 [mm] \cdot \frac{\frac{n}{2} \cdot \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{2} [/mm] + [mm] 3\cdot{}\frac{n}{2} [/mm] $
$ = -2 [mm] \cdot \left( \frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} \right) [/mm] + [mm] 3\cdot{}\frac{n}{2} [/mm] $
$ = [mm] \frac{-n^2-2n+3n}{2} [/mm] $
$ = [mm] \frac{-n^2+n}{2} [/mm] $
$ = - [mm] \frac{n(n-1)}{2} [/mm] $
$ = [mm] (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n-1)}{2} [/mm] $
Was ist hier falsch oder stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mo 17.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> für gerade:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für ungerade:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\br{n}{2}} (-1)^{(2k-1)-1} (2k-1)^2[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{\br{n}{2}} [(2k-2)^2-(2k-1)^2 ][/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{\br{n}{2}} [(2k-2)^2-(2k-1)^2 ][/mm]
>
> [mm]=\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[4k^2-8k+4-4k^2+4k-1][/mm]
> [mm]=\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}[-4k+3][/mm]
> [mm]= -4 \cdot \frac{\frac{n}{2} \cdot \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{2} + 3\cdot{}\frac{n}{2}[/mm]
>
> [mm]= -2 \cdot \left( \frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} \right) + 3\cdot{}\frac{n}{2}[/mm]
>
> [mm]= \frac{-n^2-2n+3n}{2}[/mm]
> [mm]= \frac{-n^2+n}{2}[/mm]
> [mm]= - \frac{n(n-1)}{2}[/mm]
>
> [mm]= (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n-1)}{2}[/mm]
>
> Was ist hier falsch oder stimmt das?
Das stimmt nicht, denn schon die Indexgrenze ist falsch. Wenn n ungerade ist, heißt das, dass man, wenn man durch zwei teilt, keine ganze Zahl bekommen. Die Indexgrenze muss aber eine ganze Zahl sein. Deshalb zieht man 1 von n ab, eine ungerade Zahl minus 1 ist gerade, und dann kann man durch zwei teilen. Jetzt musst du aber noch die Summe richtig aufteilen:
[mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 = \summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} (-1)^{(2k)-1} (2k)^2 + (-1)^{(2k+1)-1} (2k+1)^2 = \summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} - (2k)^2 + (2k+1)^2 [/mm]
Wichtig ist, dass hier die untere Grenze bei 0 bleibt, denn sonst hast du einen Summanden zu wenig.
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Sa 15.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo mathmetzsch!
> Zu deiner anderen Frage:
> Die Summe läuft eben nicht bis n sondern bis n/2 und muss
> dementsprechend modifiziert werden. Das ist nur ein Trick
> um den Beweis dann zu führen. Für ungerade n muss es dann
> eben bis n/2+1 laufen, ist doch klar..!
Erstens: Die Summe läuft eben nicht bis [mm]\br{n}{2}+1[/mm] sondern bis [mm]\br{n-1}{2}[/mm], scheint also doch nicht ganz so klar zu sein...
Zweitens: Es gibt keinen Grund, so zu tun als ob die Frage unnötig oder dumm wäre. Jeder hat das Recht hier jede Frage zu stellen, also versuche bitte, den freundlichen Umgangston beizubehalten.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 17.10.2005 | | Autor: | nebben |
hallo taura
wenn n gerade ist:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm] $
$ = [mm] \summe_{k=1}^{\br{n}{2}} (-1)^{(2k)-1} (2k)^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\br{n}{2}}(-1)^{(2k-1)-1} (2k-1)^2 =\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2] [/mm] $
wenn n ungerade ist:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2$ [/mm]
$= [mm] \summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} (-1)^{(2k)-1} (2k)^2 +\summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} (-1)^{(2k+1)-1} (2k+1)^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} [/mm] - [mm] (2k)^2 [/mm] + [mm] (2k+1)^2 [/mm] $
Wenn du die Summe so aufteilst hast du mal geschrieben, dass die ersten die geraden sind und die anderen die ungeraden.
Ich verstehe jetzt nicht wieso man im geraden Fall die ungeraden Zahlen mitaddiert und dann die Summe für die geraden Zahlen bekommt und im ungeraden Fall die geraden Zahlen mitaddiert und die Summe für die ungeraden Zahlen bekommt
Wieso ist das so?
Kann man die Terme so eigentlich schreiben?
gruß nebben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Di 18.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> wenn n gerade ist:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 = \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm]
> [mm]= \summe_{k=1}^{\br{n}{2}} (-1)^{(2k)-1} (2k)^2 + \summe_{k=1}^{\br{n}{2}}(-1)^{(2k-1)-1} (2k-1)^2 =\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [(2k-1)^2-(2k)^2][/mm]
> wenn n ungerade ist:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2[/mm]
> [mm]= \summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} (-1)^{(2k)-1} (2k)^2 +\summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} (-1)^{(2k+1)-1} (2k+1)^2 = \summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} - (2k)^2 + (2k+1)^2[/mm]
> Wenn du die Summe so aufteilst hast du mal geschrieben,
> dass die ersten die geraden sind und die anderen die
> ungeraden.
>
> Ich verstehe jetzt nicht wieso man im geraden Fall die
> ungeraden Zahlen mitaddiert und dann die Summe für die
> geraden Zahlen bekommt und im ungeraden Fall die geraden
> Zahlen mitaddiert und die Summe für die ungeraden Zahlen
> bekommt
Bei der Fallunterscheidung geht es nur darum ob das n, sprich die obere Indexgrenze, gerade oder ungerade ist, aufsummiert wird ja über alle Zahlen die kleiner als n sind, also über die geraden und über die ungeraden, egal in welchem Fall...
Ein Beispiel: n=5
[mm]\summe_{k=0}^{5} (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{\green{0}-1}*\green{0}^2 + (-1)^{\green{1}-1}*\green{1}^2 + (-1)^{\green{2}-1}*\green{2}^2 + (-1)^{\green{3}-1}*\green{3}^2 + (-1)^{\green{4}-1}*\green{4}^2 + (-1)^{\green{5}-1}*\green{5}^2[/mm]
Jetzt sind die graden k die wo ich 0, 2 und 4 eigesetzt habe, die ungeraden die wo ich 1, 3 und 5 eigesetzt hab. Hier sind wir im ungeraden Fall, da n=5 ist. Wäre zum Beispiel n=6, würde noch ein Summand dazukommen und wir wären im geraden Fall.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 18.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo,
Danke, jetzt macht das Sinn!
Trotzdem hänge ich nun wieder fest.
für ungerade:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2 [/mm] $
[mm] $=\summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} [/mm] - [mm] (2k)^2 [/mm] + [mm] (2k+1)^2 [/mm] $
$ = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} [/mm] (4k+1) $
$ = 4 [mm] \cdot \frac{\frac{n-1}{2} \cdot \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right)}{2} [/mm] + [mm] \frac{n-1}{2} [/mm] $
$ = 2 [mm] \cdot \left( \frac{(n-1)^2}{4} + \frac{n-1}{2} \right) [/mm] + [mm] \frac{n-1}{2} [/mm] $
$ = [mm] \frac{(n-1)^2+2(n-1)+n-1}{2} [/mm] $
$ = [mm] \frac{ n^2-2n+1+2n-2+n-1}{2} [/mm] $
$ = [mm] \frac{ n^2+n-2}{2} [/mm] $
???
$ = [mm] (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} [/mm] $
Wie macht man hier bitte weiter?
Kannst du mir bitte noch heute helfen, weil die Aufgabe morgen fertig sein muss.
gruß nebben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 18.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> für ungerade:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} k^2[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\br{n-1}{2}} - (2k)^2 + (2k+1)^2[/mm]
> [mm]= \sum\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (4k+1)[/mm]
>
> [mm]= 4 \cdot \frac{\frac{n-1}{2} \cdot \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right)}{2} + \frac{n-1}{2}[/mm]
Hier liegt dein Fehler: die Summe läuft von 0 bis [mm]\frac{n-1}{2}[/mm], die 1 wird also nicht [mm]\frac{n-1}{2}[/mm] Mal aufsummiert sondern [mm]\frac{n-1}{2}+1[/mm] Mal. Du musst also [mm]\frac{n-1}{2}+1[/mm] addieren, schau mal, obs damit klappt!
> Kannst du mir bitte noch heute helfen, weil die Aufgabe
> morgen fertig sein muss.
Hiermit geschehen
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 18.10.2005 | | Autor: | nebben |
hallo,
super.
$ = 4 [mm] \cdot \frac{\frac{n-1}{2} \cdot \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right)}{2} [/mm] + [mm] \frac{n-1}{2}+1 [/mm] $
$ = [mm] \frac{ n^2+n-2+2}{2} [/mm] $
$ = [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm] $
$ = [mm] (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} [/mm] $
Stimmt das mit den Vorzeichen?
gruß nebben
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