unabhängige Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien X,Y,Z unabhängige reellwertige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Man beweise, dass dann auch [mm] \alpha_{0}*X+\alpha, \beta_{0}*Y+\beta, \gamma_{0}*Z+\gamma [/mm] unabhängig sind für beliebige Zahlen [mm] \alpha_{0}, \beta_{0}, \gamma_{0}, \alpha, \beta, \gamma. [/mm] |
An sich ist die Aufgabe, glaube ich, nicht so schwer. Funktionen bleiben durch Verschiebung und Streckung/Stauchung in ihren Grundeigenschaften gleich, dass heißt sie können sowieso nur abhängig werden, wenn sie vorher schon die gleichen Eigenschaften hatten. Der Extremfall wäre also, wenn man die Intervalle durch die Verschiebung und Streckung/Stauchung ineinander überführen würde, aber selbst dann müssten sich ja die Funktionen auch ändern, also wären sie wieder unabhängig. Aber reicht das? Und vor allem wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf? Bitte helft mir wieder einmal.
Vielen Dank schon mal, Nora.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mo 30.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Nora,
bestimme die gemeinsame Verteilungsfunktion und nutze (27) ![[]](/images/popup.gif) hier.
vg Luis
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Wie bestimme ich denn die gemeinsame Verteilungsfunktion, wenn ich nur so allgemeine Dinge habe? Ich weiß ja schließlich nicht, wie die Funktion konkret aussieht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mo 30.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
setze [mm] $U=\alpha_{0}\cdot{}X+\alpha, V=\beta_{0}\cdot{}Y+\beta, W=\gamma_{0}\cdot{}Z+\gamma [/mm] $. Dann ist die gemeinsame Verteilungsfunktion von $(U,V,W)$ gegeben durch
[mm] $G(u,v,w)=P(U\le u,V\le v,W\le w)=P(\alpha_{0}\cdot{}X+\alpha\le [/mm] u, [mm] \beta_{0}\cdot{}Y+\beta\le v,\gamma_{0}\cdot{}Z+\gamma\le [/mm] w)= [mm] \ldots$
[/mm]
Mach mal bitte weiter.
vg Luis
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Tja nun kann ich das nach den ursprünglichen Zufallsvariablen auflösen, wobei dann da steht: =P(X [mm] \le \bruch{u-\alpha}{\alpha_{0}}, [/mm] Y [mm] \le \bruch{v-\beta}{\beta_{0}}, [/mm] Z [mm] \le \bruch{w-\gamma}{\gamma_{0}}). [/mm] Ich weiß ja, dass X,Y,Z unabhängig sind, kann ich die nun einfach wieder auseinanderziehen und dann bin ich fertig? Und müsste ich oben nicht noch eine Fallunterscheidung machen, wenn [mm] \gamma_{0}, \beta_{0}, \alpha_{0} [/mm] kleiner als Null sind, dann dreht sich doch das Kleinergleichzeichen um?
Bitte nochmals um Hilfe. Vielen Dank bis hierhin schon einmal. Nora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Di 01.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Tja nun kann ich das nach den ursprünglichen
> Zufallsvariablen auflösen, wobei dann da steht: =P(X [mm]\le \bruch{u-\alpha}{\alpha_{0}},[/mm]
> Y [mm]\le \bruch{v-\beta}{\beta_{0}},[/mm] Z [mm]\le \bruch{w-\gamma}{\gamma_{0}}).[/mm]
> Ich weiß ja, dass X,Y,Z unabhängig sind, kann ich die nun
> einfach wieder auseinanderziehen und dann bin ich fertig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und müsste ich oben nicht noch eine Fallunterscheidung
> machen, wenn [mm]\gamma_{0}, \beta_{0}, \alpha_{0}[/mm] kleiner als
> Null sind, dann dreht sich doch das Kleinergleichzeichen
> um?
Auch richtig. Allerdings muesstest du danach noch sieben weitere Faelle betrachten. Das solltest du allerdings nur einmal exemplarisch machen, um das Prinzip zu zeigen.
vg Luis
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