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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 29.07.2012 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | Hey Leute! Es ist die Funktion [mm] $\IR^3 \to \IR f(x)=2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3 [/mm] $ gegeben
und ich soll, falls möglich, [mm] \overline x\in \IR [/mm] bestimmen mit $ [mm] f(\overline [/mm] x)=min f(x) $. |
In der Lösung wurde $ [mm] 2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3 [/mm] $ zu
$ [mm] \langle \pmat{ 2 & -0,5 & 1 \\ -0,5 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }x, [/mm] x [mm] \rangle [/mm] $ umgeformt, ich hab aber keine Ahnung wie der Prof das gemacht hat....
$ [mm] \langle [/mm] Ax, x [mm] \rangle [/mm] = x^TA^Tx $ das weiß ich, aber das hlft mir nicht weiter...
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo Lovella,
> Hey Leute! Es ist die Funktion [mm]\IR^3 \to \IR f(x)=2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3[/mm]
> gegeben
>
> und ich soll, falls möglich, [mm]\overline x\in \IR[/mm] bestimmen
> mit [mm]f(\overline x)=min f(x) [/mm].
> In der Lösung wurde
> [mm]2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3[/mm] zu
>
> [mm]\langle \pmat{ 2 & -0,5 & 1 \\ -0,5 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }x, x \rangle[/mm]
> umgeformt, ich hab aber keine Ahnung wie der Prof das
> gemacht hat....
>
> [mm]\langle Ax, x \rangle = x^TA^Tx[/mm] das weiß ich, aber das
> hlft mir nicht weiter...
>
> Könnt ihr mir helfen?
Die allgemeine quadratische Gleichung in 3 Variaben schreibt sich so:
[mm]a_{11}*x_{1}^{2}+2*a_{12}*x_{1}*x_{2}+2*a_{13}*x_{1}*x_{3}+a_{22}*x_{2}^{2}+2*a_{23}*x_{2}*x_{3}+a_{33}*x_{3}^{2}[/mm]
Das kann auch in Matrizenschreibweise geschrieben werden: [mm]x^{T}Ax[/mm]
,wobei
[mm]x=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
[mm]A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}}[/mm]
bedeuten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 29.07.2012 | | Autor: | Lovella |
wow vielen Dank!
Gibt es so etwas auch für eine allgemeine Gleichung n'ten Grades?
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Hallo Lovella,
> wow vielen Dank!
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> Gibt es so etwas auch für eine allgemeine Gleichung n'ten
> Grades?
Leider nein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 29.07.2012 | | Autor: | Lovella |
:-D also muss ich in der Klausur wohl mit keinen fieseren Funktionen rechnen, hoffe ich doch.
Danach wird die positive Definitheit bestimmt. Ich weiß nicht warum das gemacht wird. Das macht man doch normalerweise bei der Ableitung?
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Hallo Lovella,
> :-D also muss ich in der Klausur wohl mit keinen fieseren
> Funktionen rechnen, hoffe ich doch.
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> Danach wird die positive Definitheit bestimmt. Ich weiß
> nicht warum das gemacht wird. Das macht man doch
> normalerweise bei der Ableitung?
Nicht das ich wüßte.
Bei einer allgemeinen quadratischen Gleichung,
kannst Du auch die quadratische Ergänzung benutzen,
um die positive Definitheit festzustellen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 So 29.07.2012 | | Autor: | Lovella |
okay gut! Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Lovella |
Tut mir leid, ich habe doch noch eine Frage dazu...
Wir haben aufgeschrieben, dass man quadratische Funktionen $ F: [mm] \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $ ohne konstanten Term auf die Form $ [mm] F(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle [/mm] - [mm] \langle b,x\rangle [/mm] $ bringen kann.
Aber das ist doch nicht das gleiche wie $ F(x)=x^TAx+2b^Tx $ wie es bei es u.a. bei Wikipedia, Artikel "Quadrik" steht...
zu mal $ [mm] \langle [/mm] Ax, x [mm] \rangle [/mm] = x^TA^Tx $ und nicht $ [mm] \langle [/mm] Ax, x [mm] \rangle [/mm] = x^TAx $ oder doch?
oder etwa doch und ich stehe auf dem Schlauch? ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
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> Tut mir leid, ich habe doch noch eine Frage dazu...
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> Wir haben aufgeschrieben, dass man quadratische Funktionen
> [mm]F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/mm] ohne konstanten Term
> auf die Form [mm]F(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle - \langle b,x\rangle[/mm]
> bringen kann.
Hallo,
sicher stand noch dabei, daß die Matrix A symmetrisch ist.
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> Aber das ist doch nicht das gleiche wie [mm]F(x)=x^TAx+2b^Tx[/mm]
> wie es bei es u.a. bei Wikipedia, Artikel "Quadrik"
> steht...
Die Matrix A und der Vektor b in wikipedia sind andere als in Deinem Aufschrieb.
Geben wir den wikipediaobjekten mal zur Unterschiedung einen Strich, sagen also F(x)=x^TA'x+2b'^Tx, so stellen wir fest:
[mm] $F(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle [/mm] - [mm] \langle b,x\rangle$
[/mm]
[mm] =\frac12x^TA^Tx-b^Tx
[/mm]
[mm] =\frac12x^TAx-b^Tx
[/mm]
[mm] =x^T(\frac12A)x+2(-\frac12b)^Tx,
[/mm]
mit [mm] A'=\frac12A, b'=-\frac12 [/mm] paßt also alles.
>
> zu mal [mm]\langle Ax, x \rangle = x^TA^Tx[/mm] und nicht [mm]\langle Ax, x \rangle = x^TAx[/mm]
> oder doch?
Bedenke die von Dir verschwiegene Symmetrie.
LG Angela
>
> oder etwa doch und ich stehe auf dem Schlauch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Lovella |
achjaa... natürlich! A symmetrisch heißt ja $ [mm] A^T=A [/mm] $. Dann hat sich also alles aufgeklärt! Danke dafür!
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