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Hallo,
in einer Fourierreihe taucht gerade der Ausdruck
f(t) = [mm] \bruch{sin(2*t-n*t)}{2-n}
[/mm]
für n = 2 auf. L'Hospital bringt mich auch nicht weiter (?).
Vielen Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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Hallo Martinius!
> Hallo,
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> in einer Fourierreihe taucht gerade der Ausdruck
>
> f(t) = [mm]\bruch{sin(2*t-n*t)}{2-n}[/mm]
>
> für n = 2 auf. L'Hospital bringt mich auch nicht weiter
> (?).
Bin mir nicht sicher, aber evtl. hilft dir ![[]](/images/popup.gif) diese Funktion hier weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Bastiane und Zwerglein,
vielen Dank für eure Antworten.
Die sic-Funktion trifft es leider nicht ganz, da ja nicht durch das Argument dividiert wird, sondern durch dessen Ableitung. Leider.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Martinius,
> in einer Fourierreihe taucht gerade der Ausdruck
>
> f(t) = [mm]\bruch{sin(2*t-n*t)}{2-n}[/mm]
>
> für n = 2 auf. L'Hospital bringt mich auch nicht weiter
Für n [mm] \red{=} [/mm] 2 ist der Ausdruck auf jeden Fall NICHT DEFINIERT!
Sollte nicht n [mm] \red{\to} [/mm] 2 gemeint sein (was bei n [mm] \in \IN [/mm] ja sinnlos wäre),
ist das ganze leider unlösbar!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> in einer Fourierreihe taucht gerade der Ausdruck
>
> f(t) = [mm]\bruch{sin(2*t-n*t)}{2-n}[/mm]
ich kann mir nicht vorstellen, dass der Ausdruck in ner Fourrierreihe auftaucht!
Vielleich liegt da schon der Fehler und du sagst lieber, wie du dazu kommst? wahrscheinlich irgendwo durch 0 geteilt? dann musst du zu der Stelle zurück, wo du durch n-2 geteilt hast!
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Der Ausdruck ist beim Integrieren entstanden:
Ausgangsfunktion war [mm]h(t) = cos(t)*cos(3*t)[/mm], für die eine Fourierreihe gefunden werden soll.
Unterwegs ergab sich u. a.:
[mm]\integral cos(2*t-n*t)\, dt = \bruch{sin(2*t-n*t)}{2-n}[/mm]
Liegt hier mein Fehler ?
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo leduart,
>
> Der Ausdruck ist beim Integrieren entstanden:
>
> Ausgangsfunktion war [mm]h(t) = cos(t)*cos(3*t)[/mm], für die eine
> Fourierreihe gefunden werden soll.
>
> Unterwegs ergab sich u. a.:
>
> [mm]\integral cos(2*t-n*t)\, dt = \bruch{sin(2*t-n*t)}{2-n}[/mm]
Ich kann mir nicht vorstellen, wie man auf diese Differenz im sin kommt.
falls das aber richtig ist steht da ja für n=2
[mm]\integral {cos(0) dt } =\integral{1 dt}[/mm]
Wenn er nicht schon früher liegt ja!
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ich schreib mal meinen Rechenweg auf; wenn Du Zeit und Nerv hast, kannst Du ja mal drüber schauen:
[mm]h(t) = cos(t)*cos(3t)[/mm] ist eine gerade Funktion; [mm] b_{n}=0
[/mm]
mit einem Additionstheorem wird daraus
[mm]h(t) = \bruch{1}{2}*cos(4t)+\bruch{1}{2}*cos(2t)[/mm]
[mm]a_{n}=\bruch{8}{\pi}*\integral_{-\pi/6}^{0} \bruch{1}{2}*cos(4t)*cos(nt)+\bruch{1}{2}*cos(2t)*cos(nt)\, dt [/mm]
Das Integrationsintervall ist so gewählt, weil das Integral von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] Null ergibt; gleichgroße Flächen verlaufen unter x-Achse wie über ihr.
Abermalige Anwendung eines Additionstheorems ergibt
[mm]a_{n}=\bruch{8}{\pi}*\integral_{-\pi/6}^{0} \bruch{1}{4}*cos(4t+nt)+\bruch{1}{4}*cos(4t-nt)+\bruch{1}{4}*cos(2t+nt)+\bruch{1}{4}*cos(2t-nt)\, dt [/mm]
[mm]a_{n}=\bruch{2}{\pi}*\left[ \bruch{sin(4t+nt)}{4+n}+\bruch{sin(4t-nt)}{4-n}+\bruch{sin(2t+nt)}{2+n}+\bruch{sin(2t-nt)}{2-n}\right]_{-\pi/6}^{0} [/mm]
[mm]a_{n}=\bruch{2}{\pi}*\left[\bruch{-1}{4+n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}+n*\bruch{-\pi}{6}\right)-\bruch{1}{4-n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}-n*\bruch{-\pi}{6}\right)-\bruch{1}{2+n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}+n*\bruch{-\pi}{6}\right)-\bruch{1}{2-n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}-n*\bruch{-\pi}{6}\right)\right][/mm]
Die Misere beginnt, wenn ich jetzt gerade natürliche Zahlen für n einsetze; n = 2,4,6,8,... Da entstehen viele nichtdefinierte Ausdrücke, wie [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{0}.
[/mm]
Die ungeraden ergeben alle Null.
Z. B. für n = 4:
[mm]a_{n}=\bruch{2}{\pi}*\wurzel{\bruch{3}{4}}*\left(\bruch{-1}{8} - \bruch{0}{0} +0+\bruch{1}{2}\right)[/mm]
Vielleicht liegt ein Fehler darin, dass ich dachte, dass der Fourierkoeffizient die gleichen Nullstellen haben muss, wie die Ursprungsfunktion [mm]h(t) = cos(t)*cos(3t)[/mm]? :
Nullstellen: ..., [mm] \bruch{-\pi}{6}, \bruch{\pi}{6}, \bruch{3*\pi}{6}, \bruch{5*\pi}{6}; \bruch{7*\pi}{6}, [/mm] ...
Dankbar für jede Aufklärung,
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo leduart,
>
> ich schreib mal meinen Rechenweg auf; wenn Du Zeit und Nerv
> hast, kannst Du ja mal drüber schauen:
>
> [mm]h(t) = cos(t)*cos(3t)[/mm] ist eine gerade Funktion; [mm]b_{n}=0[/mm]
>
> mit einem Additionstheorem wird daraus
>
> [mm]h(t) = \bruch{1}{2}*cos(4t)+\bruch{1}{2}*cos(2t)[/mm]
Daran siehst du deutlich, dass die Periode [mm] \pi [/mm] ist
also ist das auch die Grundperiode für die Fourrierreihe!
also musst du nach cos2nt entwickeln, nicht nach cos nt!
> [mm]a_{n}=\bruch{8}{\pi}*\integral_{-\pi/6}^{0} \bruch{1}{2}*cos(4t)*cos(nt)+\bruch{1}{2}*cos(2t)*cos(nt)\, dt[/mm]
>
> Das Integrationsintervall ist so gewählt, weil das Integral
> von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm] Null ergibt; gleichgroße Flächen verlaufen
> unter x-Achse wie über ihr.
das versteh ich nicht. die Funktionen sind doch alle symmetrisch zu 0, wieso kann sich dann alles wegheben, dann muss es schon von [mm] -\pi [/mm] bis 0 sich wegheben! aber wahrscheinlich liegt es na der falschen Periode!
> Abermalige Anwendung eines Additionstheorems ergibt
Und wie kann sich ein anderes Integral ergeben, wenn man ne Funktion nur umformt? 0=0 gilt immer wieso das Integral von [mm] \-\pi/6 [/mm] bis 0?
> [mm]a_{n}=\bruch{8}{\pi}*\integral_{-\pi/6}^{0} \bruch{1}{4}*cos(4t+nt)+\bruch{1}{4}*cos(4t-nt)+\bruch{1}{4}*cos(2t+nt)+\bruch{1}{4}*cos(2t-nt)\, dt[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{\pi}*\left[ \bruch{sin(4t+nt)}{4+n}+\bruch{sin(4t-nt)}{4-n}+\bruch{sin(2t+nt)}{2+n}+\bruch{sin(2t-nt)}{2-n}\right]_{-\pi/6}^{0}[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{\pi}*\left[\bruch{-1}{4+n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}+n*\bruch{-\pi}{6}\right)-\bruch{1}{4-n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}-n*\bruch{-\pi}{6}\right)-\bruch{1}{2+n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}+n*\bruch{-\pi}{6}\right)-\bruch{1}{2-n}*sin\left(4*\bruch{-\pi}{6}-n*\bruch{-\pi}{6}\right)\right][/mm]
>
ob die Additionsth. richtig sind, hab ich nicht überprüft, aber vieleicht helfen ja die richtigen Integrationsgrenzen, von 0 bis [mm] \pi [/mm] oder [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2 [/mm]
> Die Misere beginnt, wenn ich jetzt gerade natürliche Zahlen
> für n einsetze; n = 2,4,6,8,... Da entstehen viele
> nichtdefinierte Ausdrücke, wie [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder
> [mm]\bruch{1}{0}.[/mm]
> Die ungeraden ergeben alle Null.
>
> Z. B. für n = 4:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{\pi}*\wurzel{\bruch{3}{4}}*\left(\bruch{-1}{8} - \bruch{0}{0} +0+\bruch{1}{2}\right)[/mm]
>
>
> Vielleicht liegt ein Fehler darin, dass ich dachte, dass
> der Fourierkoeffizient die gleichen Nullstellen haben muss,
> wie die Ursprungsfunktion [mm]h(t) = cos(t)*cos(3t)[/mm]? Die Fourrierglieder haben Die Vielfachen der Periode der fkt. wobei die Nullstellen innerhalb einer Periode keine Rolle spielen
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 So 08.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
Vielen Dank für deinen Hinweis. Die Periode ist [mm] \pi!
[/mm]
LG, Martinus
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